Rumus Menyusun Persamaan Kuadrat Baru dan Contoh #6

Posted by on 17 March 2016 - 4:35 PM

Bagian 6 - Menyusun persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya merupakan kuadrat dari akar-akar persamaan kuadrat awal. Pada artikel sebelumnya, telah dibahas lima rumus khusus yang dapat digunakan untuk menyusun persamaan kuadrat baru. Pada bagian keenam (#6) ini, kita akan belajar bagaimana cara menemukan rumus untuk menyusun persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya merupakan kuadrat dari akar-akar persamaan kuadrat sebelumnya. Dengan kata lain, kita akan menyusun persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya (x12 dan x22).

Rumus Umum Menyusun Persamaan Kuadrat Baru

Rumus umum menyusun persamaan kuadrat baru disusun berdasarkan rumus jumlah dan hasil kali akar. Rumus jumlah dan hasil kali akar merupakan modal utama yang harus kita kuasai untuk menyusun persamaan kuadrat baru.

Menyusun persamaan kuadrat baru berdasarkan jumlah dan hasil kali akar persamaan kuadrat relatif lebih mudah daripada menyusun persamaan kuadrat baru dengan cara mencari akar-akarnya.

Dengan memanfaatkan rumus jumlah dan hasil kali akar, kita dapat menyusun suatu persamaan kuadrat tanpa harus mencari akar-akarnya terlebih dahulu. Dengan begitu metode tersebut akan lebih hemat waktu.

Dengan metode jumlah dan hasil kali akar, yang harus kita lakukan hanyalah melihat nilai a, b, dan c dalam persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 yang diketahui untuk menentukan nilai jumlah dan hasil kali akar-akarnya.

Selanjutnya kita gunakan nilai-nilai yang kita peroleh dari persamaan kuadrat awal untuk menentukan jumlah dan hasil kali akar pada persamaan kuadrat yang baru. Langkah terakhir, kita susun persamaan kuadrat barunya.

Sesuai dengan hubungan antara akar-akar persamaan awal dan persamaan kuadrat baru, maka kita dapat melihat rumus khusus yang pada dasarnya dikembangkan berdasarkan rumus umum.

Oleh karena itu, untuk menemukan rumus khusus menyusun persamaan kuadrat baru, kita harus memahami rumus umum menyusun persamaan kuadrat terlebih dahulu.

Rumus umum menyusun persamaan kuadrat baru adalah :
x2 − (Jumlah akar)x + hasil kali akar = 0

Biasanya akan ditulis menggunakan simbol tertentu misalnya :
x2 − (α + β) + α.β= 0

Degan α dan β merupakan akar-akar persamaan kuadrat yang baru.

Baca juga : Cara Menentukan Persamaan Kuadrat Baru Rumus #5.

Rumus Khusus Menyusun Persamaan Kuadrat Baru Dengan Akar (x12 dan x22)

Jika x1 dan x2 adalah akar-akar dari persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0, maka persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya merupakan kuadrat dari akar-akar sebelumnya(x12 dan x22) dapat ditentukan dengan rumus khusus yang diperoleh berdasarkan langkah-langkah berikut :
  1. Tentukan jumlah akar persamaan kuadrat awal
  2. Tentukan hasil kali akar persamaan kuadrat awal
  3. Tentukan jumlah akar persamaan kuadrat baru
  4. Tentukan hasil kali akar persamaan kuadrat baru
  5. Susun persamaan kuadrat baru

Rumus Menyusun Persamaan Kuadrat Baru dan Contoh

Berdasarkan langkah di atas, maka hal pertama yang harus kita lakuan adalah mengulik persamaan kuadrat awalnya.

Persamaan Kuadrat Awal :
ax2 + bx + c = 0

Jumlah akar : 
x1 + x2 = -b
a

Hasil kali akar :
x1 . x2 = c
a

Nilai a, b, dan c akan kita peroleh dari persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0.

Kita sudah menentukan jumlah akar dan hasil kali akar persamaan kuadrat awal, langkah selanjutnya adalah menentukan jumlah akar dan hasil kali akar persamaan kuadrat baru.

Jumlah akar :
⇒ x12 + x22 = (x1 + x2)2  − 2x1.x2
⇒ x12 + x22 = (-b/a)2  − 2(c/a)
⇒ x12 + x22 = b2/a2  − 2c/a

Hasil kali akar :
⇒ x12 . x22 = (x1 . x2)2 
⇒ x12 . x22 = (c/a)2 
⇒ x12 . x22 = c2/a2

Selanjutnya, kita susun persamaan kuadrat baru sesuai dengan rumus umumnya yaitu :
⇒ x2 − (Jumlah akar)x + hasil kali akar = 0
⇒ x2 − (b2/a2  − 2c/a)x + c2/a2 = 0

Untuk menghilangan penyebutnya, kita kali persamaannya dengan a2 :
⇒ a2x2 − (b2  − 2ac)x + c2 = 0

Jadi, rumus khusus untuk menyusun persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya merupakan kuadrat dari akar-akar sebelumnya (x12 dan x22) adalah :
a2x2 − (b2  − 2ac)x + c2 = 0

Nilai a, b dan c kita peroleh dari persamaan kuadrat awal yaitu dari persamaan ax2 + bx + c = 0.

Kunjungi channel youtube kami "Edukiper" untuk melihat video pembahasan rumus khusus lainnya. Ada sembilan (#1 s.d #9) rumus khusus menyusun persamaan kuadrat baru yang umum dan sering keluar dalam soal.

Baca juga : Cara Menyusun Persamaan Kuadrat Baru Rumus #4.

Contoh Soal Menyusun Persamaan Kuadrat Baru

Jika x1 dan x2 adalah akar-akar dari persamaan kuadrat 2x2  − 4x + 5 = 0, maka tentukanlah persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya merupakan kuadrat dari akar-akar persamaan kuadrat tersebut.

Pembahasan :
Untuk membandingkan hasil yang akan kita peroleh, kita akan coba membahas soal di atas menggunakan rumus umum dan rumus khusus.

Dengan Rumus Umum
Persamaan kuadrat awal : 2x2  − 4x + 5 = 0
Dik : a = 2, b = -4, dan c = 5

Jumlah akar :
⇒ x1 + x2 = -b/a
⇒ x1 + x2 = -(-4)/2
⇒ x1 + x2 = 2

Hasil kali akar :
⇒ x1 . x2 = c/a
⇒ x1 . x2 = 5/2

Selanjutnya kita tentukan jumlah akar dan hasil kali akar untuk persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya merupakan kuadrat dari akar-akar sebelumnya (x12 dan x22).

Jumlah akar :
⇒ x12 + x22 = (x1 + x2)2  − 2x1.x2
⇒ x12 + x22 = (2)2  − 2(5/2)
⇒ x12 + x22 = 4 − 5
⇒ x12 + x22 = -1

Hasil kali akar :
⇒ x12 . x22 = (x1 . x2)2 
⇒ x12 . x22 = (5/2)2
⇒ x12 . x22 = 25/4

Dengan demikian, persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya (x12 dan x22) adalah :
⇒ x2 − (Jumlah akar)x + hasil kali akar = 0
⇒ x2 − (-1)x + 25/4 = 0
⇒ x2 + x + 25/4 = 0
⇒ 4x2 + 4x + 25 = 0

Dengan Rumus Khusus
Berdasarkan penguraian kita sebelumnya, persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya merupakan kuadrat dari akar sebelumnya dapat ditentukan dengan rumus khusus yaitu :
a2x2 − (b2  − 2ac)x + c2 = 0

Dari soal diketahui a = 2, b = -4  dan c = 5, maka kita peroleh :
⇒ a2x2 − (b2  − 2ac)x + c2 = 0
⇒ 22x2 − {(-4)2  − 2(2)(5)}x + 52 = 0
⇒ 4x2 − (16 − 20)x + 25 = 0
⇒ 4x2 − (-4)x + 25 = 0
⇒ 4x2 + 4x + 25 = 0 

Hasil yang diperoleh dengan rumus khusus sama dengan hasil yang diperoleh dengan rumus umum. Terserah anda ingin menggunakan rumus yang mana, yang penting anda harus paham bahwa rumus khusus tidak berlaku untuk semua soal. Selain itu, anda juga harus siap menghafal banyak rumus khusus jika lebih suka cara yang singkat.

Baca juga : Cara Menyusun Persamaan Kuadrat Baru Rumus #3.

Untuk pembahasan contoh soal lainnya, silahkan kunjungi channel youtube kami "Edukiper". Total ada sembilan (#1 s.d #9) pembahasan contoh soal untuk masing-masing bentuk khusus dalam persamaan kuadrat baru.


Edutafsi.com adalah blog bahan belajar sekolah yang ditujukan untuk membantu murid belajar. Dukung edutafsi untuk terus berkembang dengan like laman facebook edutafsi dan follow IG Tafsi Junior. Terimakasih telah berkunjung ke blog ini. Semoga bermanfaat.

Advertisements