Pernyataan majemuk adalah pernyataan gabungan yang dibentuk dari dua atau lebih pernyataan tunggal yang dirangkai dengan kata hubung logika seperti dan (∧), atau (∨), jika maka (⇒), dan jika hanya jika (⇔). Pernyataan tunggal yang membentuk suatu pernyataan majemuk disebut sebagai penyataan perangkai atau komponen. Pada artikel sebelumnya telah dibahas beberapa pernyataan majemuk sederhana yang terdiri dari dua pernyataan tunggal antaralain konjungsi, disjungsi, implikasi, dan biimplikasi. Konjungsi menggunakan kata hubung dan, disjungsi menggunakan kata hubung atau, implikasi menggunakan kata hubung jika maka, dan biimplikasi menggunakan kata hubung jika dan hanya jika. Pada kesempatan ini, Bahan belajar sekolah akan membahas beberapa pernyataan majemuk yang lebih rumit dan cara menentukan nilai kebenarannya menggunakan tabel kebenaran.
Pernyataan majemuk rumit adalah pernyataan majemuk yang disusun oleh tiga atau lebih pernyataan tunggal serta melibatkan beberapa kata hubung logika. Pernyataan majemuk seperti ini biasanya menggabungkan beberapa operator logika termasuk ingkaran atau negasi.
Pernyataan majemuk bisa saja dibentuk dari gabungan antara dua konjungsi, dua disjungsi, konjungsi dan implikasi, implikasi dan disjungsi, disjungsi dan biimplikasi, ingkaran dan implikasi, dan sebagainya sehingga akan terlihat lebih kompleks dari pernyataan biasanya.
Karena terdiri dari tiga atau lebih pernyataan tunggal, maka pernyataan majemuk yang lebih rumit cukup mudah untuk dikenali. Dari tiga pernyataan tunggal, dapat dirangkai beberapa pernyataan majemuk dengan menggunakan operator logika yang berbeda-beda.
Sebagai contoh, misal diberi tiga pernyataan tunggal yang diberi lambang p, q, dan r sebagai berikut:
p : Dani belajar matematika
q : Dani belajar fisika
r : Dani belajar biologi
Dari ketiga pernyataan di atas, dapat dirangkai beberapa pernyataan majemuk sebagai berikut:
1. Dani belajar matematika dan fisika dan biologi.
2. Tidak benar Dani belajar matematika atau fisika atau biologi.
3. Jika Dani belajar matematika, maka ia tidak belajar fisika dan biologi.
4. Dani belajar matematika dan fisika jika dan hanya jika ia tidak belajar biologi.
5. Dani tidak belajar matematika jika dan hanya jika ia belajar fisika atau biologi.
Jika ditulis secara simbolis, maka pernyataan majemuk di atas dapat ditulis:
1. p ∧ q ∧ r
2. ~ (p ∨ q ∨ r)
3. p ⇒ (~q ∧ ~r)
4. (p ∧ q) ⇔ ~r
5. ~p ⇔ (q ∨ r)
Baca juga : Membedakan Pernyataan dan Kalimat Terbuka dalam Logika Matematika.
Ada dua metode yang dapat kita gunakan dalam menyelidiki nilai kebenaran suatu pernyataan majemuk, yaitu cara biasa dari kiri ke kanan dan cara singkat dari kanan ke kiri.
#1 Metode Kiri ke Kanan
Pada metode ini, kita menentukan nilai kebenaran dari masing-masing komponen secara berurut dimulai dari kolom paling kiri dan bergerak ke kolom paling kanan untuk menghasilkan nilai kebenaran dari pernyataan majemuk yang dicari.
Contoh :
Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan majemuk ~ (p ∨ ~ q).
Pembahasan :
Kita tulis mulai dari pernyataan p, q, ~q, hingga dihasilkan pernyataan majemuk sebagai berikut:
#2 Metode Kanan ke Kiri
Pada metode ini, kita menentukan nilai ebenaran dari amsing-masing komponen secara berurut dimulai dari kolom paling kanan da bergerak ke kolom paling kiri untuk menghasilkan nilai kebenaran dari pernyataan majemuk yang dicari. Hanya saja, pada metode ini, pernyataan dipecah dalam baris judul.
Contoh :
Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan majemuk ~ (p ∨ ~ q).
Pembahasan :
Pertama, tulis pernyataan majemuk pada baris judul tabel kebenaran dengan masing-masing kolom memuat satu operator atau pernyataan seperti terlihat pada tabel di bawah. Selanjutnya pengerjaan dimulai dari kolom paling kanan.
Tiap-tiap kolom judul mewakili pernyataan tertentu sebagai berikut:
1. q) mewakili pernyataan q
2. ~ mewakili ingkaran dari pernyataan q (~q)
3. ∨ mewakili pernyataan (p ∨ ~ q)
4. (p mewakili pernyataan p
5. ~ yang paling kiri mewakili ~ (p ∨ ~ q)
Langkah :
1. Tentukan nilai kebenaran untuk p dan q yang diwakili kolom (p dan kolom q)
2. Tentukan kebenaran dari ~q yang diwakili kolom ~ atau kolom 4
3. Tentukan nilai kebenaran (p ∨ ~ q) pada kolom ∨
4. Tentukan nilai kebenaran ~ (p ∨ ~ q) pada kolom ~ paling kiri atau kolom pertama.
Dari contoh di atas dapat kita lihat bahwa kedua metode yang digunakan menghasilkan nilai kebenaran yang sama yaitu S S B S. Kita dapat menggunakan metode mana saja yang kita anggap lebih mudah.
Baca juga : Tabel Kebenaran Biimplikasi dan Ingkaran Biimplikasi.
Pernyataan Majemuk Rumit
Pernyataan majemuk yang terdiri dari dua pernyataan tunggal terbilang masih sederhana dan mudah ditentukan nilai kebenarannya. Pernyataan majemuk sederhana dapat dimanfaatkan untuk mempelajari kebenaran dari pernyataan majemuk yang lebih rumit atau lebih kompleks.Pernyataan majemuk rumit adalah pernyataan majemuk yang disusun oleh tiga atau lebih pernyataan tunggal serta melibatkan beberapa kata hubung logika. Pernyataan majemuk seperti ini biasanya menggabungkan beberapa operator logika termasuk ingkaran atau negasi.
Pernyataan majemuk bisa saja dibentuk dari gabungan antara dua konjungsi, dua disjungsi, konjungsi dan implikasi, implikasi dan disjungsi, disjungsi dan biimplikasi, ingkaran dan implikasi, dan sebagainya sehingga akan terlihat lebih kompleks dari pernyataan biasanya.
Karena terdiri dari tiga atau lebih pernyataan tunggal, maka pernyataan majemuk yang lebih rumit cukup mudah untuk dikenali. Dari tiga pernyataan tunggal, dapat dirangkai beberapa pernyataan majemuk dengan menggunakan operator logika yang berbeda-beda.
Sebagai contoh, misal diberi tiga pernyataan tunggal yang diberi lambang p, q, dan r sebagai berikut:
p : Dani belajar matematika
q : Dani belajar fisika
r : Dani belajar biologi
Dari ketiga pernyataan di atas, dapat dirangkai beberapa pernyataan majemuk sebagai berikut:
1. Dani belajar matematika dan fisika dan biologi.
2. Tidak benar Dani belajar matematika atau fisika atau biologi.
3. Jika Dani belajar matematika, maka ia tidak belajar fisika dan biologi.
4. Dani belajar matematika dan fisika jika dan hanya jika ia tidak belajar biologi.
5. Dani tidak belajar matematika jika dan hanya jika ia belajar fisika atau biologi.
Jika ditulis secara simbolis, maka pernyataan majemuk di atas dapat ditulis:
1. p ∧ q ∧ r
2. ~ (p ∨ q ∨ r)
3. p ⇒ (~q ∧ ~r)
4. (p ∧ q) ⇔ ~r
5. ~p ⇔ (q ∨ r)
Baca juga : Membedakan Pernyataan dan Kalimat Terbuka dalam Logika Matematika.
Tabel Kebenaran Pernyataan Majemuk
Nilai kebenaran dari suatu pernyataan majemuk dapat ditentukan dengan menggunakan bantuan tabel kebenaran. Kita dapat menggunakan tabel kebenaran konjungsi, disjungsi, implikasi, dan biimplikasi untuk memeriksa nilai kebenaran pernyataan majemuk yang lebih kompleks.Ada dua metode yang dapat kita gunakan dalam menyelidiki nilai kebenaran suatu pernyataan majemuk, yaitu cara biasa dari kiri ke kanan dan cara singkat dari kanan ke kiri.
#1 Metode Kiri ke Kanan
Pada metode ini, kita menentukan nilai kebenaran dari masing-masing komponen secara berurut dimulai dari kolom paling kiri dan bergerak ke kolom paling kanan untuk menghasilkan nilai kebenaran dari pernyataan majemuk yang dicari.
Contoh :
Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan majemuk ~ (p ∨ ~ q).
Pembahasan :
Kita tulis mulai dari pernyataan p, q, ~q, hingga dihasilkan pernyataan majemuk sebagai berikut:
| p | q | ~q | p ∨ ~ q | ~(p ∨ ~ q) |
| B | B | S | B | S |
| B | S | B | B | S |
| S | B | S | S | B |
| S | S | B | B | S |
#2 Metode Kanan ke Kiri
Pada metode ini, kita menentukan nilai ebenaran dari amsing-masing komponen secara berurut dimulai dari kolom paling kanan da bergerak ke kolom paling kiri untuk menghasilkan nilai kebenaran dari pernyataan majemuk yang dicari. Hanya saja, pada metode ini, pernyataan dipecah dalam baris judul.
Contoh :
Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan majemuk ~ (p ∨ ~ q).
Pembahasan :
Pertama, tulis pernyataan majemuk pada baris judul tabel kebenaran dengan masing-masing kolom memuat satu operator atau pernyataan seperti terlihat pada tabel di bawah. Selanjutnya pengerjaan dimulai dari kolom paling kanan.
Tiap-tiap kolom judul mewakili pernyataan tertentu sebagai berikut:
1. q) mewakili pernyataan q
2. ~ mewakili ingkaran dari pernyataan q (~q)
3. ∨ mewakili pernyataan (p ∨ ~ q)
4. (p mewakili pernyataan p
5. ~ yang paling kiri mewakili ~ (p ∨ ~ q)
| ~ | (p | ∨ | ~ | q) |
| S | B | B | S | B |
| S | B | B | B | S |
| B | S | S | S | B |
| S | S | B | B | S |
Langkah :
1. Tentukan nilai kebenaran untuk p dan q yang diwakili kolom (p dan kolom q)
2. Tentukan kebenaran dari ~q yang diwakili kolom ~ atau kolom 4
3. Tentukan nilai kebenaran (p ∨ ~ q) pada kolom ∨
4. Tentukan nilai kebenaran ~ (p ∨ ~ q) pada kolom ~ paling kiri atau kolom pertama.
Dari contoh di atas dapat kita lihat bahwa kedua metode yang digunakan menghasilkan nilai kebenaran yang sama yaitu S S B S. Kita dapat menggunakan metode mana saja yang kita anggap lebih mudah.
Baca juga : Tabel Kebenaran Biimplikasi dan Ingkaran Biimplikasi.
Edutafsi.com adalah blog tentang bahan belajar. Gunakan menu atau penelusuran untuk menemukan bahan belajar yang ingin dipelajari.