LUAS SEGITIGA JIKA KETIGA SISINYA DIKETAHUI

Jika panjang ketiga sisi pada segitiga siku-siku diketahui, maka luas segitiga siku-siku tersebut dapat dihitung dengan mudah menggunakan rumus luas segitiga berdasarkan panjang alasa dan tingginya. Lalu bagaimana dengan segitiga sebarang yang tidak diketahui tingginya? Untuk segitiga sebarang, jika panjang ketiga sisinya diketahui, maka luas segitiga tersebut dapat dihitung dengan rumus yang diturunkan menggunakan konsep trigonometri. Konsep trigonometri yang digunakan untuk menurunkan rumus tersebut adalah identitas trigonometri dan aturan cosinus. Pada kesempatan ini, Bahan belajar sekolah hanya akan membahas rumus untuk menentukan luas segitiga jika panjang ketiga sisinya diketahui, namun tidak membahas penurunan atau pembuktian rumusnya. Penurunan rumus hanya dibahas sercara ringkas.

Rumus Keliling Segitiga

Setelah diturunkan berdasarkan konsep identitas trigonometri dan aturan kosinus, ternyata rumus luas segitiga yang panjang ketiga sisinya diketahui berhubungan dengan rumus keliling segitiga. Seperti yang kita tahu, keliling segitiga sama dengan jumlah dari panjang ketiga sisinya.

Misal diberi segitiga ABC dengan sudut A, B, dan C. Jika a, b, dan c adalah sisi-sisi pada segitiga tersebut yang berada di hadapan sudut A, B, dan C, maka keliling segitiga dapat dihitung dengan rumus :

K = a + b + c

Dengan :
K = keliling segitiga
a = panjang sisi BC
b = panjang sisi AC
c = panjang sisi AB

Rumus untuk menentuan luas segitiga yang panjang ketiga sisinya dihubungkan dengan besaran setengah keliling segitiga yang disimbolkan dengan huruf s sebagai berikut:

s = ½ K = ½ (a + b + c)

Dengan :
s = setengah keliling segitiga
K = keliling segitiga

Baca juga : Luas Segitiga Jika Diketahui Dua Sudut Satu Sisi.

Luas Segitiga Jika Ketiga Sisi Diketahui

Misal diberi segitiga sembarang ABC dengan sudut A, B, dan C. Jika panjang sisi a, panjang sisi b, dan panjang sisi c diketahui, maka luas segitiga tersebut dapat dihitung dengan rumus yang diperoleh dari rumus yang dibahas sebelumnya.

Sebelumnya telah dibahas rumus menentukan luas segitiga jika diketahui dua sisi dan satu sudut. Jika pada segitiga ABC diketahui panjang sisi b, besar sudut A, dan panjang sisi c (b-A-c), maka luas segitiga dihitung dengan rumus berikut :
⇒ L = ½ bc sin A ....(1)

Selanjutnya, nilai sin A diperoleh berdasarkan identitas trigonometri:
⇒ sin² A + cos² A = 1
⇒ sin² A = 1 - cos² A
⇒ sin² A = (1 + cos A)(1 - cos A) ......(2)

Selanjutnya kembali ingat aturan cosinus, sebagai berikut:

⇒ cos A =	b2 + c2 - a2
	2bc

Selanjutnya substitusi cos A dari aturan cosinus ke persamaan (2) sehingga dihasilkan persamaan (3) sebagai berikut :
⇒ sin² A = (1 + cos A)(1 - cos A)
⇒ sin² A = (1 + (b² + c² - a²)/2bc)(1 - (b² + c² - a²)/2bc)

⇒ sin2 A =	(a + b + c)(b + c - a)(a + b - c)(a - b + c)
	(2bc)2

⇒ sin A =	1	√(a + b + c)(b + c - a)(a + b - c)(a - b + c)
	2bc

Perhatikan pada persamaan di atas, a + b + c adalah keliling segitiga. Jika dihubungkan dengan setengah keliling segitiga (s), maka berlaku :
⇒ s = ½(a + b + c)
⇒ 2s = (a + b + c)
⇒ (a + b + c) = 2s ...... (4)

Berdasarkan persamaan (4), maka persamaan (3) dapat diubah menjadi:

⇒ sin A =	1	√2s . 2(s - a) . 2(s - c) . 2(s - b)
	2bc

⇒ sin A =	1	√16 s(s - a)(s - c)(s - b)
	2bc

⇒ sin A =	4	√s(s - a)(s - c)(s - b)
	2bc

⇒ sin A = 2/bc √s(s - a)(s - b)(s - c)

Selanjutnya, substitusi sin A di atas ke persamaan (1) :
⇒ L = ½ bc sin A
⇒ L = ½ bc {2/bc √s(s - a)(s - b)(s - c)}
⇒ L = √s(s - a)(s - b)(s - c)

Jadi, luas segitiga sembarang yang panjang ketiga sisinya diketahui dapat dihitung dengan rumus berikut:

L = √s(s - a)(s - b)(s - c)

Dengan :
L = luas segitiga
s = setengah keliling segitiga = ½(a + b + c)
a = panjang sisi a
b = panjang sisi b
c = panjang sisi c

Contoh Soal :
Pada segitiga ABC diketahui panjang sisi a = 6 cm, panjang sisi b = 4 cm, dan panjang sisi c = 8 cm. Hitunglah luas segitiga tersebut!

Pembahasan :
Dik : a = 6 cm, b = 4 cm, c = 8 cm
Dit : L = .... ?

Pertama kita hitung dulu setengah keliling segitiganya :
⇒ s = ½ (a + b + c)
⇒ s = ½ (6 + 4 + 8)
⇒ s = ½ (18)
⇒ s = 9 cm

Berdasarkan rumus luas di atas :
⇒ L = √s(s - a)(s - b)(s - c)
⇒ L = √9 (9 - 6)(9 - 4)(9 - 8)
⇒ L = √9 (3)(5)(1)
⇒ L = √9 (3)(5)(1)
⇒ L = √135
⇒ L = 11,6 cm²

Jadi, luas segitiga tersebut adalah 11,6 cm².

Baca juga : Luas Segitiga Jika Diketahui Dua Sisi dan Satu Sudut.

Share ke Facebook >>

Edutafsi.com adalah blog tentang bahan belajar. Gunakan menu atau penelusuran untuk menemukan bahan belajar yang ingin dipelajari.