Edutafsi.com - Sistem persamaan linear tiga variabel (SPLTV) merupakan sistem persamaan yang disusun oleh tiga persamaan linear dengan tiga variabel atau peubah yang sama. Sama seperti SPLDV, sistem persamaan linear tiga variabel juga dapat diaplikasikan dalam kehidupan seahri-hari. SPLTV dapat dimanfaatkan untuk menyelesaikan berbagai masalah yang berkaitan dengan model matematika berbentuk SPLTV. Prinsip penggunaannya juga sama yaitu dengan cara merancang model matematika yang bersesuaian dengan masalah atau soal cerita yang diberikan. Untuk merancang model matematika berbentuk SPLTV tentu kita membutuhkan tiga besaran yang akan kita jadikan variabel. Pada kesempatan ini, Bahan belajar sekolah akan membahas cara merancang model matematika berbentuk SPLTV untuk menyelesaikan masalah sebagai salah satu aplikasi SPLTV dalam kehidupan sehari-hari.
Dalam sistem persamaan, variabel-variabel yang ada dalam tiap persamaan saling berhubungan satu sama lainnya. Artinya, variabel-variabel tersebut harus memiliki nilai yang sama untuk semua persamaan yang menyusun sistem tersebut.
Bentuk umum SPLTV biasanya ditulis dengan bentuk sebagai berikut:
ax + by + cz = d
ex + fy + gz = h
ix + jy + kz = l
Dari bentuk di atas, x, y, dan z merupakan variabel atau peubah yang nilainya belum diketahui sedangkan a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, dan l merupakan bilangan-bilangan real yang sudah diketahui nilainya.
Penyelesaian sistem persamaan linear tiga variabel artinya menemukan nilai x, y, dan z yang memenuhi ketiga persamaan penyusun sistem. Dengan kata lain, nilai tersebut harus menyebabkan ketiga persamaan bernilai benar.
Misal nilai x, y, dan z yang memenuhi sistem tersebut adalah xo, yo, dan zo, maka berlaku:
axo + byo + czo = d
exo + fyo + gzo = h
ixo + jyo + kzo = l
Suatu sistem persamaan linear tiga variabel dapat diselesaikan dengan beberapa metode seperti metode substitusi, metode eliminasi, metode campuran (eliminasi dan substitusi), dan metode determinan.
Untuk merancang model matematika berbentuk SPLTV, maka kita harus mengidentifikasi besaran-besaran apa yang harus dijadikan variabel atau peubah. Tentu saja kita harus menemukan tiga besaran untuk dijadikan tiga variabel sebab SPLTV terdiri dari tiga variabel.
Setelah variabel atau peubah ditentukan, selanjutnya kita rancang model matematika yang bersesuaian dengan soal cerita yaitu dengan memanfaatkan beberapa nilai atau kondisi yang diketahui dalam soal tersebut.
Setelah model matematika berbentuk SPLTV berhasil disusun, selanjutnya kita tentukan himpunan penyelesaiannya sehingga diperoleh nilai-nilai peubah yang memenuhi sistem tersebut. Langkah terakhir, kembalikan variabel ke besaran semula.
Berdasarkan pemaparan di atas, maka berikut beberapa langkah dalam merancang model matematika yang berbentuk SPLTV:
1. Identifikasi tiga besaran yang belum diketahui nilainya
2. Nyatakan besaran tersebut sebagai variabel dengan pemisalan
3. Rumuskan SPLTV yang merupakan model matematika dari masalah
4. Tentukan penyelesain SPLTV yang terbentuk
5. Tafsirkan nilai yang diperoleh sesuai pemisalan sebelumnya.
Contoh Soal :
Tika, Rani, dan Dian berbelanja keperluan sekolah di toko yang sama. Tika membeli dua buah buku tulis, dua buah pensil, dan sebuah penggaris dengan harga Rp 8.000,-. Rani membeli sebuah buku tulis, dua buah pensil, dan sebuah penggaris dengan harga Rp 6.000,-. Dian membeli tiga buah buku tulis, sebuah pensil, dan sebuah penggaris dengan harga Rp 9.000,-. Tentukan harga untuk sebuah buku tulis, sebuah pensil, dan sebuah penggaris.
Pembahasan :
Langkah pertama, kita identifikasi tiga besaran yang belum diketahui nilai (harganya). Ketiga besaran itu adalah harga buku, harga pensil, dan harga penggaris.
Langkah kedua, kita nyatakan besaran tersebut sebagai variabel. Kita misalkan:
Harga buku tulis = x
Harga pensil = y
Harga penggaris = z
Langkah ketiga, kita rumuskan model matematika berdasarkan soal. Dari soal diketahui tiga persamaan linear dengan tiga variabel sebagai berikut:
Barang belanjaan Tika:
2x + 2y + z = 8.000 .... (1)
Barang belanjaan Rani:
x + 2y + z = 6.000 ..... (2)
Barang belanjaan Dian :
3x + y + z = 9.000 .... (3)
Dari ketiga persamaan tersebut, maka model matematika berbentuk SPLTV yang sesuai adalah:
2x + 2y + z = 8.000
x + 2y + z = 6.000
3x + y + z = 9.000
Langkah keempat, kita selesaikan SPLTV yang terbentuk dengan metode substitusi atau metode eliminasi. Kita juga bisa menggunakan metode campuran atau metode lain yang kita anggap lebih mudah.
Dari persamaan (1) dan (2) :
2x + 2y + z = 8.000
x + 2y + z = 6.000 _
x = 2.000
Dari persamaan (2) dan (3) :
x + 2y + z = 6.000
3x + y + z = 9.000 _
-2x + y = -3.000 ........ (4)
Substitusi nilai x = 2000 ke persamaan (4) :
⇒ -2x + y = -3.000
⇒ -2(2.000) + y = -3.000
⇒ -4.000 + y = -3.000
⇒ y = -3000 + 4.000
⇒ y = 1.000
Substitusi nilai x dan y ke salah satu persamaan untuk memperoleh nilai z. Pilih salah satu persamaan yang paling sederhana. Pada contoh ini, kita akan menggunakan persamaan (2).
⇒ x + 2y + z = 6.000
⇒ 2.000 + 2(1000) + z = 6.000
⇒ 4.000 + z = 6.000
⇒ z = 6.000 - 4.000
⇒ z = 2.000
Nilai x, y, dan z sudah diperoleh. Langkah terakhir kita kembalikan ke pemisalan semula.
x = harga buku tulis = Rp 2.000,-
y = harga pensil = Rp 1.000,-
z = harga penggaris = Rp 2.000,-
Jadi, harga untuk sebuah buku tulis adalah Rp 2.000, harga sebuah pensil Rp 1.000, dan harga sebuah penggaris adalah Rp 2.000.
Untu memastikan atau membuktikan jawaban kita benar, kita bisa memeriksanya dengan cara mensubstitusikan nilai x, y, dan z ke tiga persamaannya.
Persamaan (1)
⇒ 2x + 2y + z = 8.000
⇒ 2(2000) + 2(1000) + 2000 = 8000
⇒ 4000 + 2000 + 2000 = 8000
⇒ 8000 = 8000 (Benar)
Persamaan (2)
⇒ x + 2y + z = 6.000
⇒ 2000 + 2(1000) + 2000 = 6000
⇒ 6000 = 6000 (Benar)
Persamaan (3)
⇒ 3x + y + z = 9.000
⇒ 3(2000) + 1000 + 2000 = 9000
⇒ 6000 + 3000 = 9000
⇒ 9000 = 9000 (Benar).
Baca juga : Menyelesaikan Soal Cerita Berbentuk SPLDV.
Prinsip Dasar SPLTV
Sebelum menyelesaikan suatu masalah melalui model matematika, ada baiknya kita kembali mengingat konsep dasar dari sistem persamaan linear tiga variabel. Sistem persamaan linear tiga variabel memiliki tiga variabel yang sama yang nilainya belum diketahui secara jelas.Dalam sistem persamaan, variabel-variabel yang ada dalam tiap persamaan saling berhubungan satu sama lainnya. Artinya, variabel-variabel tersebut harus memiliki nilai yang sama untuk semua persamaan yang menyusun sistem tersebut.
Bentuk umum SPLTV biasanya ditulis dengan bentuk sebagai berikut:
ax + by + cz = d
ex + fy + gz = h
ix + jy + kz = l
Dari bentuk di atas, x, y, dan z merupakan variabel atau peubah yang nilainya belum diketahui sedangkan a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, dan l merupakan bilangan-bilangan real yang sudah diketahui nilainya.
Penyelesaian sistem persamaan linear tiga variabel artinya menemukan nilai x, y, dan z yang memenuhi ketiga persamaan penyusun sistem. Dengan kata lain, nilai tersebut harus menyebabkan ketiga persamaan bernilai benar.
Misal nilai x, y, dan z yang memenuhi sistem tersebut adalah xo, yo, dan zo, maka berlaku:
axo + byo + czo = d
exo + fyo + gzo = h
ixo + jyo + kzo = l
Suatu sistem persamaan linear tiga variabel dapat diselesaikan dengan beberapa metode seperti metode substitusi, metode eliminasi, metode campuran (eliminasi dan substitusi), dan metode determinan.
Menyelesaikan Soal Cerita Menggunakan SPLTV
Prinsip penyelesaian SPLTV dapat digunakan untuk menyelesaikan soal cerita yang berkaitan dengan model matematika berbentuk SPLTV. Model soal berbentuk SPLTV cukup mudah dikenali karena ada tiga besaran yang nilainya tidak diketahui.Untuk merancang model matematika berbentuk SPLTV, maka kita harus mengidentifikasi besaran-besaran apa yang harus dijadikan variabel atau peubah. Tentu saja kita harus menemukan tiga besaran untuk dijadikan tiga variabel sebab SPLTV terdiri dari tiga variabel.
Setelah variabel atau peubah ditentukan, selanjutnya kita rancang model matematika yang bersesuaian dengan soal cerita yaitu dengan memanfaatkan beberapa nilai atau kondisi yang diketahui dalam soal tersebut.
Setelah model matematika berbentuk SPLTV berhasil disusun, selanjutnya kita tentukan himpunan penyelesaiannya sehingga diperoleh nilai-nilai peubah yang memenuhi sistem tersebut. Langkah terakhir, kembalikan variabel ke besaran semula.
Berdasarkan pemaparan di atas, maka berikut beberapa langkah dalam merancang model matematika yang berbentuk SPLTV:
1. Identifikasi tiga besaran yang belum diketahui nilainya
2. Nyatakan besaran tersebut sebagai variabel dengan pemisalan
3. Rumuskan SPLTV yang merupakan model matematika dari masalah
4. Tentukan penyelesain SPLTV yang terbentuk
5. Tafsirkan nilai yang diperoleh sesuai pemisalan sebelumnya.
Contoh Soal :
Tika, Rani, dan Dian berbelanja keperluan sekolah di toko yang sama. Tika membeli dua buah buku tulis, dua buah pensil, dan sebuah penggaris dengan harga Rp 8.000,-. Rani membeli sebuah buku tulis, dua buah pensil, dan sebuah penggaris dengan harga Rp 6.000,-. Dian membeli tiga buah buku tulis, sebuah pensil, dan sebuah penggaris dengan harga Rp 9.000,-. Tentukan harga untuk sebuah buku tulis, sebuah pensil, dan sebuah penggaris.
Pembahasan :
Langkah pertama, kita identifikasi tiga besaran yang belum diketahui nilai (harganya). Ketiga besaran itu adalah harga buku, harga pensil, dan harga penggaris.
Langkah kedua, kita nyatakan besaran tersebut sebagai variabel. Kita misalkan:
Harga buku tulis = x
Harga pensil = y
Harga penggaris = z
Langkah ketiga, kita rumuskan model matematika berdasarkan soal. Dari soal diketahui tiga persamaan linear dengan tiga variabel sebagai berikut:
Barang belanjaan Tika:
2x + 2y + z = 8.000 .... (1)
Barang belanjaan Rani:
x + 2y + z = 6.000 ..... (2)
Barang belanjaan Dian :
3x + y + z = 9.000 .... (3)
Dari ketiga persamaan tersebut, maka model matematika berbentuk SPLTV yang sesuai adalah:
2x + 2y + z = 8.000
x + 2y + z = 6.000
3x + y + z = 9.000
Langkah keempat, kita selesaikan SPLTV yang terbentuk dengan metode substitusi atau metode eliminasi. Kita juga bisa menggunakan metode campuran atau metode lain yang kita anggap lebih mudah.
Dari persamaan (1) dan (2) :
2x + 2y + z = 8.000
x + 2y + z = 6.000 _
x = 2.000
Dari persamaan (2) dan (3) :
x + 2y + z = 6.000
3x + y + z = 9.000 _
-2x + y = -3.000 ........ (4)
Substitusi nilai x = 2000 ke persamaan (4) :
⇒ -2x + y = -3.000
⇒ -2(2.000) + y = -3.000
⇒ -4.000 + y = -3.000
⇒ y = -3000 + 4.000
⇒ y = 1.000
Substitusi nilai x dan y ke salah satu persamaan untuk memperoleh nilai z. Pilih salah satu persamaan yang paling sederhana. Pada contoh ini, kita akan menggunakan persamaan (2).
⇒ x + 2y + z = 6.000
⇒ 2.000 + 2(1000) + z = 6.000
⇒ 4.000 + z = 6.000
⇒ z = 6.000 - 4.000
⇒ z = 2.000
Nilai x, y, dan z sudah diperoleh. Langkah terakhir kita kembalikan ke pemisalan semula.
x = harga buku tulis = Rp 2.000,-
y = harga pensil = Rp 1.000,-
z = harga penggaris = Rp 2.000,-
Jadi, harga untuk sebuah buku tulis adalah Rp 2.000, harga sebuah pensil Rp 1.000, dan harga sebuah penggaris adalah Rp 2.000.
Untu memastikan atau membuktikan jawaban kita benar, kita bisa memeriksanya dengan cara mensubstitusikan nilai x, y, dan z ke tiga persamaannya.
Persamaan (1)
⇒ 2x + 2y + z = 8.000
⇒ 2(2000) + 2(1000) + 2000 = 8000
⇒ 4000 + 2000 + 2000 = 8000
⇒ 8000 = 8000 (Benar)
Persamaan (2)
⇒ x + 2y + z = 6.000
⇒ 2000 + 2(1000) + 2000 = 6000
⇒ 6000 = 6000 (Benar)
Persamaan (3)
⇒ 3x + y + z = 9.000
⇒ 3(2000) + 1000 + 2000 = 9000
⇒ 6000 + 3000 = 9000
⇒ 9000 = 9000 (Benar).
Baca juga : Menyelesaikan Soal Cerita Berbentuk SPLDV.
Edutafsi.com adalah blog tentang bahan belajar. Gunakan menu atau penelusuran untuk menemukan bahan belajar yang ingin dipelajari.