Fungsi atau pemetaan adalah suatu relasi atau hubungan antara dua himpunan yang memasangkan setiap anggota himpunan pertama dengan tepat pada satu anggota himpunan kedua. Fungsi antara himpunan A ke himpunan B memasangkan setiap anggota himpunan A dengan tepat satu anggota himpunan B. Dengan kata lain, suatu fungsi memetakan anggota himpunan tertentu tepat pada satu anggota himpunan lainnya. Dalam pemetaan dikenal tiga istilah daerah, yaitu daerah asal (domain), daerah kawan (kodomain), dan daerah hasil (range). Dalam bidang study matematika dikenal beberapa macam fungsi khusus seperti fungsi linear, fungsi identitas, fungsi kuadrat, fungsi modulus, dan sebagainya. Pada kesempatan ini, Bahan belajar sekolah akan membahas cara penulisan suatu fungsi, pengertian daerah asal, daerah kawan, dan daerah hasil.
Misal a, b, c yang merupakan anggota himpunan A dipasangkan secara tepat dengan k, l, m, yang merupakan anggota himpunan B, maka relasi tersebut merupakan pemetaan atau fungsi. Jika fungsi tersebut disimbolkan dengan huruf f, maka fungsi tersebut dapat ditulis sebagai berikut:
f : A → B (dibaca : f memetakan A ke B)
Fungsi yang memetakan A ke B dengan pasangan anggota seperti di atas dapat digambarkan menggunakan diagram panah yang menunjukkan setiap anggota A dipasangkan tepat pada satu anggota B seperti gambar di bawah ini.
Dari gambar di atas, fungsi dari himpunan A ke himpunan B dapat dibaca sebagai berikut:
1). f(a) = k → f memetakan a ke k → k adalah peta a oleh f
2). f(b) = l → f memetakan b ke l → l adalah peta b oleh f
3). f(c) = m → f memetakan c ke m → m adalah peta c oleh f
Baca juga : Contoh Soal dan Pembahasan Membentuk Fungsi Kuadrat.
1. Daerah asal (domain)
2. Daerah kawan (kodomain)
3. Daerah hasil (range)
Daerah asal adalah daerah himpunan yang anggotanya dipetakan ke himpunan lainnya. Daerah kawan adalah daerah himpunan yang digunakan untuk memetakan suatu himpunan. Sedangkan daerah hasil adalah daerah semua anggota himpunan yang dipasangkan dengan tiap anggota himpunan yang dipetakan.
Misal f adalah sebuah fungsi yang memetakan setiap anggota himpunan A ke himpunan B. Himpunan A dan B memiliki anggota sebagai berikut:
A = {a, b, c}
B = {m, n, o, p}
Jika fungsi f memetakan a, b, dan c ke m, n, dan o, maka daerah dalam pemetaan tersebut adalah sebagai berikut:
1. Daerah asal : A = {a, b, c}
2. Daerah kawan : B = {m, n, o, p}
3. Daerah hasil : {m, n, o}
Contoh Soal :
Diketahui fungsi f : x → 4x + 3 dengan daerah asal D = {x| 2 ≤ x ≤ 4, x E R}. Tentukanlah nilai fungsi untuk x = 2, x = 3, dan x = 4 serta tentukanlah wilayah hasil fungsi tersebut.
Pembahasan :
Dari soal diketahui y = f(x) = 4x + 3.
Untuk x = 2
⇒ y = f(2)
⇒ y = 4(2) + 3
⇒ y = 8 + 3
⇒ y = 11
Untuk x = 3
⇒ y = f(3)
⇒ y = 4(3) + 3
⇒ y = 12 + 3
⇒ y = 15
Untuk x = 4
⇒ y = f(4)
⇒ y = 4(4) + 3
⇒ y = 16 + 3
⇒ y = 19
Karena daerah asal D = {x| 2 ≤ x ≤ 4, x E R} maka daerah hasilnya adalah nilai fungsi untuk x = 2, x = 3, dan x = 4. Dengan demikian, daerah hasil fungsi tersebut adalah {y| 11 ≤ y ≤ 19, y E R}.
Baca juga : Kumpulan Soal SBMPTN tentang Fungsi Kuadrat.
#1 Fungsi Konstan
Fungsi konstan adalah fungsi yang hanya mengandung sebuah nilai konstanta atau nilai tetapan. Fungsi konstan f(x) sama dengan sebuah konstanta untuk semua nilai x dalam daerah asalnya. Fungsi konstan dapat ditulis sebagai berikut:
f : x → f(x) = k
Dengan x adalah himpunan bilangan real dan k adalah sebuah konstanta atau nilai tetapan.
#2 Fungsi Identitas
Fungsi identitas adalah fungsi y = f(x) dengan f(x) = x untuk semua nilai x dalam daerah hasilnya. Dengan kata lain, untuk semua nilai x dalam daerah asal berpasangan dengan nilai x itu sendiri dalam daerah hasil.
Fungsi identitas f(x) = x dapat ditulis dalam bentuk:
I(x) = x
Penggunaan huruf I menyatakan identitas.
#3 Fungsi Genap dan Fungsi Ganjil
Suatu fungsi f : x → f(x) disebut fungsi genap jika f(−x) = f(x). Sebaliknya, suatu fungsi f : x → f(x) disebut fungsi ganjil jika f(−x) = −f(x). Suatu fungsi yang tidak memenuhi salah satu dari pernyataan di atas dikatakan fungsi yang tidak genap maupun tidak ganjil.
#4 Fungsi Linear
Fungsi linear adalah fungsi yang mengandung bentuk linear yang ditandai dengan penggunaan variabel berderajat satu. Bentuk umum fungsi linear dalam variabel x dapat dinyatakan sebagai berikut:
y = f(x) = ax + b, dengan a ≠ 0.
Dalam bentuk di atas, a dan b merupakan bilangan real dan x merupakan variabel. Fungsi linear juga dijenal sebagai fungsi polinom berderajat satu. Fungsi linear juga ditandai dengan bentuk grafik berupa garis lurus.
#5 Fungsi Kuadrat
Fungsi kuadrat atau fungsi polinom adalah fungsi yang mengandung bentuk kuadrat yang ditandai dengan penggunaan variabel berderjat dua. Bentuk umum fungsi kuadrat dalam variabel x dapat dinyatakan sebagai berikut:
y = f(x) = ax2 + bx + c , dengan a ≠ 0.
Pada bentuk di atas, a, b, dan c merupakan bilangan real. Dari bentuknya dapat kita lihat bahwa fungsi kuadrat mengandung banyak suku sehingga disebut juga sebagai fungsi polinom atau suku banyak yang berderajat dua.
Ciri lain dari fungsi kuadrat dapat dilihat dari bentu kurva atau grafiknya. Grafik fungsi kudrat jika digambarkan dalam koordinat Cartesian akan menunjukkan gambar parabola.
#6 Fungsi Turunan
Sesuai dengan namanya, fungsi turunan adalah fungsi yang melibatkan bentuk turunan. Jika fungsi f : R → R adalah suatu fungsi yang diketahui dan f' ditentukan oleh : f (x) = lim f ( x + h ) – f (x) / h . Maka f disebut fungsi turunan yang prinsipnya sesuai dengan prinsip differensial.
#7 Fungsi Modulus
Fungsi modulus atau fungsi nilai mutlak adalah fungsi yang mengandung nilai mutlak sebagai salah satu ciri khasnya. Ciri lain dari fungsi modulus adalah grafiknya tidak pernah terletak di bawah sumbu negatif sebab nilai mutlak suatu bilangan real tidak pernah negartif.
Nilai mutlak ditandai dengan penggunaan tanda mutlka (| |) yang menyatakan bahwa setiap nilainya selalu positif. Untuk setiap bilangan real x, nilai mutlak x ditentukan dengan aturan sebagai berikut.
Nilai mutlak |x| berlaku:
1). x jika x ≥ 0
2). -x jika x ≤ 0
Fungsi modulus dalam variabel x dapat dinyatakan sebagai y = f(x) dengan f(x) = |x| untuk semua nilai x dalam daerah asalnya. Tulisan |x| dibaca nilai mutlak dari x.
Baca juga : Pembahasan Soal Cerita Berbentuk Fungsi Kuadrat.
Fungsi atau Pemetaan
Fungsi atau pemetaan menunjukkan relasi atau hubungan antara dua himpunan. Misal diberi dua himpunan A dan B dengan masing-masing anggota himpunan A = {a, b, c} dan B = {k, l, m, n}, maka relasi antara himpunan A dan B hanya disebut fungsi jika anggota himpuna A dipasangkan tepat dengan satu anggota himpunan B.Misal a, b, c yang merupakan anggota himpunan A dipasangkan secara tepat dengan k, l, m, yang merupakan anggota himpunan B, maka relasi tersebut merupakan pemetaan atau fungsi. Jika fungsi tersebut disimbolkan dengan huruf f, maka fungsi tersebut dapat ditulis sebagai berikut:
f : A → B (dibaca : f memetakan A ke B)
Fungsi yang memetakan A ke B dengan pasangan anggota seperti di atas dapat digambarkan menggunakan diagram panah yang menunjukkan setiap anggota A dipasangkan tepat pada satu anggota B seperti gambar di bawah ini.
Dari gambar di atas, fungsi dari himpunan A ke himpunan B dapat dibaca sebagai berikut:
1). f(a) = k → f memetakan a ke k → k adalah peta a oleh f
2). f(b) = l → f memetakan b ke l → l adalah peta b oleh f
3). f(c) = m → f memetakan c ke m → m adalah peta c oleh f
Baca juga : Contoh Soal dan Pembahasan Membentuk Fungsi Kuadrat.
Domain, Kodomain, dan Range
Dalam fungsi atau pemetaan dikenal tiga daerah atau wilayah, yaitu:1. Daerah asal (domain)
2. Daerah kawan (kodomain)
3. Daerah hasil (range)
Daerah asal adalah daerah himpunan yang anggotanya dipetakan ke himpunan lainnya. Daerah kawan adalah daerah himpunan yang digunakan untuk memetakan suatu himpunan. Sedangkan daerah hasil adalah daerah semua anggota himpunan yang dipasangkan dengan tiap anggota himpunan yang dipetakan.
Misal f adalah sebuah fungsi yang memetakan setiap anggota himpunan A ke himpunan B. Himpunan A dan B memiliki anggota sebagai berikut:
A = {a, b, c}
B = {m, n, o, p}
Jika fungsi f memetakan a, b, dan c ke m, n, dan o, maka daerah dalam pemetaan tersebut adalah sebagai berikut:
1. Daerah asal : A = {a, b, c}
2. Daerah kawan : B = {m, n, o, p}
3. Daerah hasil : {m, n, o}
Contoh Soal :
Diketahui fungsi f : x → 4x + 3 dengan daerah asal D = {x| 2 ≤ x ≤ 4, x E R}. Tentukanlah nilai fungsi untuk x = 2, x = 3, dan x = 4 serta tentukanlah wilayah hasil fungsi tersebut.
Pembahasan :
Dari soal diketahui y = f(x) = 4x + 3.
Untuk x = 2
⇒ y = f(2)
⇒ y = 4(2) + 3
⇒ y = 8 + 3
⇒ y = 11
Untuk x = 3
⇒ y = f(3)
⇒ y = 4(3) + 3
⇒ y = 12 + 3
⇒ y = 15
Untuk x = 4
⇒ y = f(4)
⇒ y = 4(4) + 3
⇒ y = 16 + 3
⇒ y = 19
Karena daerah asal D = {x| 2 ≤ x ≤ 4, x E R} maka daerah hasilnya adalah nilai fungsi untuk x = 2, x = 3, dan x = 4. Dengan demikian, daerah hasil fungsi tersebut adalah {y| 11 ≤ y ≤ 19, y E R}.
Baca juga : Kumpulan Soal SBMPTN tentang Fungsi Kuadrat.
Macam-macam Fungsi Khusus
Jika daerah asal dari suatu fungsi tidak dinyatakan, maka yang dimaksud adalah himpunan semua bilangan real (R). Untuk fungsi-fungsi pada R dikenal beberapa fungsi khusus yang masing-masing memiliki karakter berbeda-beda.#1 Fungsi Konstan
Fungsi konstan adalah fungsi yang hanya mengandung sebuah nilai konstanta atau nilai tetapan. Fungsi konstan f(x) sama dengan sebuah konstanta untuk semua nilai x dalam daerah asalnya. Fungsi konstan dapat ditulis sebagai berikut:
f : x → f(x) = k
Dengan x adalah himpunan bilangan real dan k adalah sebuah konstanta atau nilai tetapan.
#2 Fungsi Identitas
Fungsi identitas adalah fungsi y = f(x) dengan f(x) = x untuk semua nilai x dalam daerah hasilnya. Dengan kata lain, untuk semua nilai x dalam daerah asal berpasangan dengan nilai x itu sendiri dalam daerah hasil.
Fungsi identitas f(x) = x dapat ditulis dalam bentuk:
I(x) = x
Penggunaan huruf I menyatakan identitas.
#3 Fungsi Genap dan Fungsi Ganjil
Suatu fungsi f : x → f(x) disebut fungsi genap jika f(−x) = f(x). Sebaliknya, suatu fungsi f : x → f(x) disebut fungsi ganjil jika f(−x) = −f(x). Suatu fungsi yang tidak memenuhi salah satu dari pernyataan di atas dikatakan fungsi yang tidak genap maupun tidak ganjil.
#4 Fungsi Linear
Fungsi linear adalah fungsi yang mengandung bentuk linear yang ditandai dengan penggunaan variabel berderajat satu. Bentuk umum fungsi linear dalam variabel x dapat dinyatakan sebagai berikut:
y = f(x) = ax + b, dengan a ≠ 0.
Dalam bentuk di atas, a dan b merupakan bilangan real dan x merupakan variabel. Fungsi linear juga dijenal sebagai fungsi polinom berderajat satu. Fungsi linear juga ditandai dengan bentuk grafik berupa garis lurus.
#5 Fungsi Kuadrat
Fungsi kuadrat atau fungsi polinom adalah fungsi yang mengandung bentuk kuadrat yang ditandai dengan penggunaan variabel berderjat dua. Bentuk umum fungsi kuadrat dalam variabel x dapat dinyatakan sebagai berikut:
y = f(x) = ax2 + bx + c , dengan a ≠ 0.
Pada bentuk di atas, a, b, dan c merupakan bilangan real. Dari bentuknya dapat kita lihat bahwa fungsi kuadrat mengandung banyak suku sehingga disebut juga sebagai fungsi polinom atau suku banyak yang berderajat dua.
Ciri lain dari fungsi kuadrat dapat dilihat dari bentu kurva atau grafiknya. Grafik fungsi kudrat jika digambarkan dalam koordinat Cartesian akan menunjukkan gambar parabola.
#6 Fungsi Turunan
Sesuai dengan namanya, fungsi turunan adalah fungsi yang melibatkan bentuk turunan. Jika fungsi f : R → R adalah suatu fungsi yang diketahui dan f' ditentukan oleh : f (x) = lim f ( x + h ) – f (x) / h . Maka f disebut fungsi turunan yang prinsipnya sesuai dengan prinsip differensial.
#7 Fungsi Modulus
Fungsi modulus atau fungsi nilai mutlak adalah fungsi yang mengandung nilai mutlak sebagai salah satu ciri khasnya. Ciri lain dari fungsi modulus adalah grafiknya tidak pernah terletak di bawah sumbu negatif sebab nilai mutlak suatu bilangan real tidak pernah negartif.
Nilai mutlak ditandai dengan penggunaan tanda mutlka (| |) yang menyatakan bahwa setiap nilainya selalu positif. Untuk setiap bilangan real x, nilai mutlak x ditentukan dengan aturan sebagai berikut.
Nilai mutlak |x| berlaku:
1). x jika x ≥ 0
2). -x jika x ≤ 0
Fungsi modulus dalam variabel x dapat dinyatakan sebagai y = f(x) dengan f(x) = |x| untuk semua nilai x dalam daerah asalnya. Tulisan |x| dibaca nilai mutlak dari x.
Baca juga : Pembahasan Soal Cerita Berbentuk Fungsi Kuadrat.
Edutafsi.com adalah blog tentang bahan belajar. Gunakan menu atau penelusuran untuk menemukan bahan belajar yang ingin dipelajari.