Pertidaksamaan linear satu variabel adalah pertidaksamaan yang hanya memiliki satu variabel dan variabel tersebut berderajat satu atau berpangkat satu. Pertidaksamaan linear satu variabel sangat mudah dikenali karena hanya ada satu variabel misal x, y, atau z dan dengan penggunaan tanda-tanda pertidaksamaan seperti kurang dari (>), lebih dari (<), kurang dari sama dengan (≤), dan lebih dari sama dengan (≥). Pertidaksamaan linear satu variabel merupakan salah satu bentuk pertidaksamaan linear yang paling sederhana dan cenderung mudah untuk diselesaikan. Penyelesaian pertidaksamaan linear satu variabel dapat dilakukan dengan metode manipulasi aljabar terhadap bentuk pertidaksamaan semula. Pada kesempatan ini, Bahan belajar sekolah akan membaha tentang interval dan himpunan penyelesaian pertidaksamaan linear.
Pertidaksamaan linear satu variabel memiliki satu variabel berderjata satu. Penggunaan variabel dalam pertidaksamaan linear tidak terbatas, kita dapat menggunakan huruf abjad seperti a, b, c, x, y, z, dan sebagainya.
Karena hubungan pertidaksamaan dapat dinyatakan dengan empat tanda, maka bentuk baku dari suatu pertidaksamaan linear satu variabel juga dapat dinyatakan dalam empat macam. Keempat macam bentuk tersebut menggunakan tanda pertidaksamaan yang berbeda.
Bentuk baku pertidaksamaan linear dalam variabel x dapat ditulis sebagai berikut:
1). Pertidaksamaan kurang dari : ax + b < 0
2). Pertidaksamaan lebih dari : ax + b > 0
3). Pertidaksamaan kurang dari sama dengan : ax + b ≤ 0
4). Pertidaksamaan lebih dari sama dengan : ax + b ≥ 0
Pada keempat bentuk baku di atas, x merupakan variabel atau peubah pertidaksamaan sedangkan a dan b merupakan bilangan-biangan real dengan a ≠ 0.
Contoh pertidaksamaan linear satu variabel:
1). 2x + 4 < 0
2). 6x - 4 ≤ 0
3). 4y - 10 > 0
4). 5x + 6 ≥ 0
5). 2t - 8 < 0
Baca juga : Soal dan Pembahasan Pertidaksamaan Harga Mutlak.
Misal a, b, dan c adalah bilangan-bilangan real dan a > b, maka penyelesaian pertidaksamaan a > b dapat dilakukan dengan manipulasi aljabar yang memenuhi sifat-sifat berikut:
1). a + c > b + c
2). a - c > b - c
3). Untuk c > 0, maka a.c > b.c
4). Untuk c < 0, maka a.c < b.c
5). Untuk c > 0, maka a/c > b/c
6). Untuk c < 0, maka a/c < b/c
Keterangan:
Pada sifat pertama, jika kedua ruas suatu pertidaksamaan ditambah dengan bilangan yang sama, maka tanda pertidaksamaannya tetap. Hal yang sama juga berlaku jika kedua ruas pertidaksamaan dikurang dengan bilangan yang sama.
Pada sifat ketiga dan kelima, jika kedua ruas pertidaksamaan dikali atau dibagi dengan bilangan positif yang sama, maka tanda pertidaksamaan tetap atau tidak berubah.
Sebaliknya, pada sifat keempat dan keenam, jika kedua ruas pertidaksamaan dikali atau dibagi dengan bilangan negatif yang sama, maka tanda pertidaksamaannya berubah atau berbalik.
Melalui cara manipulasi aljabar, kita dapat menentukan nilai variabel yang memenuhi pertidaksamaan linear satu variabel. Penyelesaian pertidaksamaan linear satu variabel biasanya dinyatakan sebagai himpunan penyelesaian.
Himpunan penyelesaian pertidaksamaan linear dapat dinyatakan dalam bentuk interval atau selang. Interval merupakan himpunan-himpunan bagian dari himpunan bilangan real (R) yang sesuai dengan kebutuhan atau sesuai dengan himpunan penyelesaian yang diperoleh.
Selang atau interval dapat dinyatakan atau digambar pada garis bilangan real berbentuk ruas garis atau segmen garis. Bagian garis yang menyatakan interval tersebut digambar dengan garis yang lebih tebal atau dengan menggunakan arsiran.
Misal a dan b merupakan bilangan real yang bersesuaian dengan penyelesaian suatu pertidaksamaan. Berdasarkan tanda pertidaksamaan yang digunakan, interval dapat dibedakan menjadi beberapa jenis sebagai berikut:
1. Interval terbuka : a < x < b
2. Interval tertututp : a ≤ x ≤ b
3. Interval setengah terbuka : a ≤ x < b atau a < x ≤ b
4. Interval terbuka tak hingga : x > a dan x < b
5. Interval tertutup tak hingga : x ≥ a dan x ≤ b.
Perhatikan gambar di atas. Pada gambar tersebut terdapat, perhatikan gambar lingkaran kecil di atas bilangan a dan b. Ada dua jenis bulatan yaitu yang kosong (warna putih) dan yang berisi (warna gelap).
Jika lingkarannya kosong atau berlubang, itu artinya bilangan a atau b tidak termasuk ke dalam interval. Lingkaran kosong ini digunakan untuk menyatakan pertidaksamaan kurang dari (<) atau lebih dari (<). Interval yang menggunakan lingkaran kosong disebut interval terbuka.
Sedangkan lingkaran yang berisi atau noktah, itu artinya bilangan a atau b termasuk ke dalam interval. Bentuk noktah ini digunakan untuk menyatakan pertidaksamaan kurang dari sama dengan (≤) dan lebih dari sama dengan (≥). Interval yang menggunakan noktah berisi disebut interval tertutup.
Contoh 1:
Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 4x - 2 < 0. Gambarkan interval himpunan penyelesainnya dan sebutkan jenis intervalnya:
Pembahasan :
Manipulasi aljabar, kedua ruas ditambah dua sebagai berikut:
⇒ 4x - 2 < 0
⇒ 4x - 2 + 2 < 0 + 2
⇒ 4x < 2
Perhatikan sifat manipulasi di atas. Karena kedua ruas ditambah bilangan yang sama, maka tanda pertidaksamaanya tetap, yaitu kurang dari (<).
Selanjutnya kedua ruas kita bagi dengan empat sebagai berikut:
⇒ 4x < 2
⇒ 4x/x4 < 2/4
⇒ x < ½
Karena kedua ruas dibagi 4 (4 bilangan positif), maka tanda pertidaksamaannya tetap. Jadi, himpunan penyelsaian petidaksamaan tersebut adalah {x| x < ½}.
Interval di atas merupakan interval terbuka tak hingga. Perhatikan bahwa lingkaran di atas angka ½ merupakan bulatan kosong itu artinya ½ tidak termasuk himpunan penyelesaian.
Contoh 2:
Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan 2x - 4 < 3x - 1.
Pembahasan :
Langkah pertama kita manipulasi bentuk pertidaksamaannya dengan cara menambahkan kedua ruas dengan 4 sebagai berikut:
⇒ 2x - 4 < 3x - 1
⇒ 2x - 4 + 4 < 3x - 1 + 4
⇒ 2x < 3x + 3
Selanjutnya, kedua ruas kita kurang dengan 3x sebagai berikut:
⇒ 2x - 3x < 3x + 3 - 3x
⇒ -x < 3
Untuk memperoleh nilai x, kedua ruas kita kali dengan -1 sehingga:
⇒ -x < 3
⇒ -x (-1) > 3 (-1)
⇒ x > -3
Perhatikan, karena kedua ruas dikali dengan bilangan negatif (-1), maka tanda pertidaksamaanya berubah atau berbalik menjadi lebih dari (>). Dengan demikian, himpunan penyelesaian pertidaksamaan 2x - 4 < 3x - 1 adalah {x| x > -3}.
Baca juga : Pembahasan Soal Ujian Nasional tentang Pertidaksamaan.
Bentuk Umum Pertidaksamaan
Salah satu ciri khas pertidaksamaan adalah adanya tanda-tanda pertidaksamaan yang membatasi ruas kiri dan ruas kanan. Karena menggunakan tanda pertidaksamaan, penyelesaian dari suatu pertidaksamaan juga umumnya dinyatakan dengan tanda pertidaksamaan.Pertidaksamaan linear satu variabel memiliki satu variabel berderjata satu. Penggunaan variabel dalam pertidaksamaan linear tidak terbatas, kita dapat menggunakan huruf abjad seperti a, b, c, x, y, z, dan sebagainya.
Karena hubungan pertidaksamaan dapat dinyatakan dengan empat tanda, maka bentuk baku dari suatu pertidaksamaan linear satu variabel juga dapat dinyatakan dalam empat macam. Keempat macam bentuk tersebut menggunakan tanda pertidaksamaan yang berbeda.
Bentuk baku pertidaksamaan linear dalam variabel x dapat ditulis sebagai berikut:
1). Pertidaksamaan kurang dari : ax + b < 0
2). Pertidaksamaan lebih dari : ax + b > 0
3). Pertidaksamaan kurang dari sama dengan : ax + b ≤ 0
4). Pertidaksamaan lebih dari sama dengan : ax + b ≥ 0
Pada keempat bentuk baku di atas, x merupakan variabel atau peubah pertidaksamaan sedangkan a dan b merupakan bilangan-biangan real dengan a ≠ 0.
Contoh pertidaksamaan linear satu variabel:
1). 2x + 4 < 0
2). 6x - 4 ≤ 0
3). 4y - 10 > 0
4). 5x + 6 ≥ 0
5). 2t - 8 < 0
Baca juga : Soal dan Pembahasan Pertidaksamaan Harga Mutlak.
Himpunan Penyelesaian Pertidaksamaan Linear Satu Variabel
Suatu pertidaksamaan linear satu variabel dapat diselesaikan dengan cara manipulasi aljabar. Teknik manipulasi aljabar dilakukan dengan cara menambah, mengurang, mengkali, atau membagi kedua ruas dengan bilangan positif atau bilangan negatif sesuai kebutuhan.Misal a, b, dan c adalah bilangan-bilangan real dan a > b, maka penyelesaian pertidaksamaan a > b dapat dilakukan dengan manipulasi aljabar yang memenuhi sifat-sifat berikut:
1). a + c > b + c
2). a - c > b - c
3). Untuk c > 0, maka a.c > b.c
4). Untuk c < 0, maka a.c < b.c
5). Untuk c > 0, maka a/c > b/c
6). Untuk c < 0, maka a/c < b/c
Keterangan:
Pada sifat pertama, jika kedua ruas suatu pertidaksamaan ditambah dengan bilangan yang sama, maka tanda pertidaksamaannya tetap. Hal yang sama juga berlaku jika kedua ruas pertidaksamaan dikurang dengan bilangan yang sama.
Pada sifat ketiga dan kelima, jika kedua ruas pertidaksamaan dikali atau dibagi dengan bilangan positif yang sama, maka tanda pertidaksamaan tetap atau tidak berubah.
Sebaliknya, pada sifat keempat dan keenam, jika kedua ruas pertidaksamaan dikali atau dibagi dengan bilangan negatif yang sama, maka tanda pertidaksamaannya berubah atau berbalik.
Melalui cara manipulasi aljabar, kita dapat menentukan nilai variabel yang memenuhi pertidaksamaan linear satu variabel. Penyelesaian pertidaksamaan linear satu variabel biasanya dinyatakan sebagai himpunan penyelesaian.
Himpunan penyelesaian pertidaksamaan linear dapat dinyatakan dalam bentuk interval atau selang. Interval merupakan himpunan-himpunan bagian dari himpunan bilangan real (R) yang sesuai dengan kebutuhan atau sesuai dengan himpunan penyelesaian yang diperoleh.
Selang atau interval dapat dinyatakan atau digambar pada garis bilangan real berbentuk ruas garis atau segmen garis. Bagian garis yang menyatakan interval tersebut digambar dengan garis yang lebih tebal atau dengan menggunakan arsiran.
Misal a dan b merupakan bilangan real yang bersesuaian dengan penyelesaian suatu pertidaksamaan. Berdasarkan tanda pertidaksamaan yang digunakan, interval dapat dibedakan menjadi beberapa jenis sebagai berikut:
1. Interval terbuka : a < x < b
2. Interval tertututp : a ≤ x ≤ b
3. Interval setengah terbuka : a ≤ x < b atau a < x ≤ b
4. Interval terbuka tak hingga : x > a dan x < b
5. Interval tertutup tak hingga : x ≥ a dan x ≤ b.
Perhatikan gambar di atas. Pada gambar tersebut terdapat, perhatikan gambar lingkaran kecil di atas bilangan a dan b. Ada dua jenis bulatan yaitu yang kosong (warna putih) dan yang berisi (warna gelap).
Jika lingkarannya kosong atau berlubang, itu artinya bilangan a atau b tidak termasuk ke dalam interval. Lingkaran kosong ini digunakan untuk menyatakan pertidaksamaan kurang dari (<) atau lebih dari (<). Interval yang menggunakan lingkaran kosong disebut interval terbuka.
Sedangkan lingkaran yang berisi atau noktah, itu artinya bilangan a atau b termasuk ke dalam interval. Bentuk noktah ini digunakan untuk menyatakan pertidaksamaan kurang dari sama dengan (≤) dan lebih dari sama dengan (≥). Interval yang menggunakan noktah berisi disebut interval tertutup.
Contoh 1:
Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 4x - 2 < 0. Gambarkan interval himpunan penyelesainnya dan sebutkan jenis intervalnya:
Pembahasan :
Manipulasi aljabar, kedua ruas ditambah dua sebagai berikut:
⇒ 4x - 2 < 0
⇒ 4x - 2 + 2 < 0 + 2
⇒ 4x < 2
Perhatikan sifat manipulasi di atas. Karena kedua ruas ditambah bilangan yang sama, maka tanda pertidaksamaanya tetap, yaitu kurang dari (<).
Selanjutnya kedua ruas kita bagi dengan empat sebagai berikut:
⇒ 4x < 2
⇒ 4x/x4 < 2/4
⇒ x < ½
Karena kedua ruas dibagi 4 (4 bilangan positif), maka tanda pertidaksamaannya tetap. Jadi, himpunan penyelsaian petidaksamaan tersebut adalah {x| x < ½}.
Interval di atas merupakan interval terbuka tak hingga. Perhatikan bahwa lingkaran di atas angka ½ merupakan bulatan kosong itu artinya ½ tidak termasuk himpunan penyelesaian.
Contoh 2:
Tentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan 2x - 4 < 3x - 1.
Pembahasan :
Langkah pertama kita manipulasi bentuk pertidaksamaannya dengan cara menambahkan kedua ruas dengan 4 sebagai berikut:
⇒ 2x - 4 < 3x - 1
⇒ 2x - 4 + 4 < 3x - 1 + 4
⇒ 2x < 3x + 3
Selanjutnya, kedua ruas kita kurang dengan 3x sebagai berikut:
⇒ 2x - 3x < 3x + 3 - 3x
⇒ -x < 3
Untuk memperoleh nilai x, kedua ruas kita kali dengan -1 sehingga:
⇒ -x < 3
⇒ -x (-1) > 3 (-1)
⇒ x > -3
Perhatikan, karena kedua ruas dikali dengan bilangan negatif (-1), maka tanda pertidaksamaanya berubah atau berbalik menjadi lebih dari (>). Dengan demikian, himpunan penyelesaian pertidaksamaan 2x - 4 < 3x - 1 adalah {x| x > -3}.
Baca juga : Pembahasan Soal Ujian Nasional tentang Pertidaksamaan.
Edutafsi.com adalah blog tentang bahan belajar. Gunakan menu atau penelusuran untuk menemukan bahan belajar yang ingin dipelajari.