PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR DAN KUADRAT IMPLISIT

Posted by on 16 November 2016 - 10:55 AM

Edutafsi.com - Sistem persamaan linear dan kuadrat implisit adalah sistem persamaan yang terdiri dari persamaan linear dan persamaan kuadrat dengan bagian kuadratnya berbentuk implisit. Bagian kuadrat dari SPLK dikatakan berbentuk implisit jika bagian tersebut tidak dapat dinyatakan dalam bentuk fungsinya. Misal bagian kuadrat dengan peubah x dan y dikatakan berbentuk implisit jika persamaan tersebut tidak dapat dinyatakan dalam bentuk y = f(x) atau x = f(y). Persamaan implisit umumnya dinyatakan dalam bentuk f(x, y) = 0 sehingga pada sistem persamaan linear dan kuadrat implisit, bagian kuadratnya biasanya bernilai sama dengan nol. Pada kesempatan ini, bahan belajar sekolah akan membahas beberapa bentuk dan cara menentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan linear dan kuadrat implisit.

Bentuk Umum SPLK Implisit

Persamaan yang mengandung dua peubah x dan y dikatakan berbentuk implisit jika persamaan tersebut tidak dapat dinyatakan dalam bentuk x = f(y) atau y = f(x). Sistem persamaan linear dan kuadrat dengan bagian kuadrat berbentuk implisit dapat dilihat dari bentuk bagian kuadratnya.

Pada SPLK implisit, bagian kuadrat biasanya mengandung dua peubah yang memiliki pangkat kuadrat. Berikut beberapa contoh persamaan dua variabel yang berbentuk implisit:
1). x2 + y2 + 12 = 0
2). x2 + y2 + 4x - 24 = 0
3). 2x2 - y2 + 4xy + 3x - 2y - 6 = 0

Pada artikel sebelumnya telah dibahas bahwa SPL dapat dibedakan menjadi SPLK dengan bagian kuadrat eksplisit dan SPLK dengan bagian kuadrat implisit. Pada gambar di bawah ini ditunjukkan perbedaan antara bentuk eksplisit dan bentuk implisit.

Sistem persamaan linear dan kuadrat

Secara umum, sistem persamaan linear dan kuadrat dengan bagian kuadrat berbentuk implisit dalam peubah x dan y dapat ditulis sebagai berikut:

Bagian linear    : px + qy + r = 0
Bagian kuadrat : ax2 + by2 + cxy + dx + ey + f = 0

Pada bentuk di atas, x dan y merupakan variabel sedangkan a, b, c, d, e, f, p, q, dan r merupakan bilangan-bilangan real. Berdasarkan bentuk bagian kuadratnya, SPLK implisit dapat dibedakan menjadi dua jenis, yaitu:
1. SPLK implisit, dengan bagian kuadrat dapat difaktorkan
2. SPLK implisit, dengan bagian kuadrat tidak dapat difaktorkan.

Penyelesaian SPLK, Bagian Kuadrat Dapat Difaktorkan

Secara umum, SPLK implisit dapat diselesaikan dengan cara mensubstitusi bagian linear ke bagian kuadrat sehingga diperoleh persamaan kuadrat. Setelah itu ditentukan akar-akar persamaan kuadratnya dan ditentukan nilai variabel lainnya.

Akan tetapi, karena bagian kuadratnya dapat difaktorkan, kita dapat menyelesaikannya dengan cara memfaktorkan bagian kuadratnya terlebih dahulu sehingga dihasilkan dua persamaan linear. Persamaan linear tersebut digabung dengan persamaan linear yang diketahui membentuk dua SPLDV.

Setelah diperoleh dua SPLDV, selanjutnya kita tentukan penyelesaian untuk masing-masing SPLDV berdasarkan prinsiip penyelesaian SPLD baik dengan metode eliminasi atau metode substitusi. Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh berikut.

Contoh Soal:
Tentukan himpunan penyelesaian untuk SPLK berikut ini:
x + y = 4
x2 - 2xy + y2 - 4 = 0

Pembahasan :
Langkah pertama, faktorkan bagian kuadratnya:
⇒ x2 - 2xy + y2 - 4 = 0
⇒ (x - y)2 - 4 = 0
⇒ (x - y - 2)(x - y + 2) = 0

Dari proses di atas, kita peroleh dua persamaan linear sebagai berikut:
1). x - y - 2 = 0
2). x - y + 2 = 0

Selanjutnya, gabungkan kedua masing-masing persamaan di atas dengan persamaan linear x + y = 4 sehingga diperoleh dua sistem persamaan linear dua variabel (SPLDV).

SPLDV pertama:
x + y = 4 
x - y - 2 = 0

SPLDV kedua:
x + y = 4 
x - y + 2 = 0

Selanjutnya kita tentukan penyelesaian untuk masing-masing SPLDV dengan menggunakan metode eliminasi atau metode substitusi. Kali ini, kita akan coba metode substitusi.

Penyelesaian SPLDV pertama:
⇒ x + y = 4
⇒ x = 4 - y

Substitusi ke persamaan x - y - 2 = 0
⇒ x - y - 2 = 0
⇒ (4 - y) - y - 2 = 0
⇒ 4 - 2y - 2 = 0
⇒ -2y = -2
⇒ y = 1

Substitusi y = 1 ke persamaan x + y = 4
⇒ x + 1 = 4
⇒ x = 4 - 1
⇒ x = 3

HP = {(3, 1)}.

Penyelesaian SPLDV kedua:
⇒ x + y = 4
⇒ x = 4 - y

Substitusi ke persamaan x - y + 2 = 0
⇒ x - y + 2 = 0
⇒ (4 - y) - y + 2 = 0
⇒ 4 - 2y + 2 = 0
⇒ -2y = -6
⇒ y = 3

Substitusi y = 3 ke persamaan x + y = 4
⇒ x + 3 = 4
⇒ x = 4 - 3
⇒ x = 1

HP = {(1, 3)}.

Jadi, himpunan penyelesaian untuk SPLK tersebut adalah {(3, 1), (1, 3)}.

Penyelesaian SPLK, Bagian Kuadrat Tidak Dapat Difaktorkan

Untuk SPLK implisi yang bagian kuadratnya tidak dapat difaktorkan, maka kita bisa menyelesaikannya dengan cara mensubstitusikan bagian linear ke bagian kuadrat sehingga diperoleh persamaan kuadrat satu variabel.

Setelah akar dari persamaan linear yang terbentuk diperoleh, selanjutnya kita tentukan nilai variabel lainnya dengan cara mensubstitusikan nilai variabel yang sudah diketahui (nilai itu diperoleh dari akar persamaan kuadrat).

Contoh soal :
Tentukan himpunan penyelesaian SPLK berikut:
x + y = 0
x2 + y2 - 8 = 0

Pembahasan :
Langkah pertama, nyatakan bagian linear dalam bentuk x atau y sebagia berikut:
⇒ x + y = 0
⇒ y = -x

Langkah kedua, substitusikan y ke dalam bagian kuadrat:
⇒ x2 + y2 - 8 = 0
⇒ x2 + (-x)2 - 8 = 0
⇒ x2 + x2 - 8 = 0
⇒ 2x2 - 8 = 0
⇒ x2 - 4 = 0

Selanjutnya, tentukan akar-akarnya:
⇒ x2 - 4 = 0
⇒ x2 = 4
⇒ x = 2 atau x = -2

Selanjutnya, substitusi nilai x ke persamaan x + y = 0.

Untuk x = 2
⇒ x + y 0
⇒ 2 + y = 0
⇒ y = -2
HP = {(2, -2)}

Untuk x = -2
⇒ x + y = 0
⇒ -2 + y = 0
⇒ y = 2
HP = {(-2, 2)}.

Jadi, himpunan penyelesaian SPLK tersebut adalah {(-2, 2), (2, -2)}.



Edutafsi.com adalah blog bahan belajar sekolah yang ditujukan untuk membantu murid belajar. Dukung edutafsi untuk terus berkembang dengan like laman facebook edutafsi dan follow IG Tafsi Junior. Terimakasih telah berkunjung ke blog ini. Semoga bermanfaat.

Advertisements