Edutafsi.com - (Contoh 9 : Menentukan Nilai Minimum Fungsi Objektif Program Linear) Seorang petani memiliki tanah tidak kurang dari 10 hektar. Ia merencanakan akan menanami padi seluas 2 hektar sampai dengan 6 hektar dan menanam jagung seluas 4 hektar sampai dengan 6 hektar. Untuk menanam padi perhektarnya diperlukan biaya Rp 400.000,00 sedangkan untuk menanam jagung per hektarnya diperlukan biaya Rp 200.000,00. Agar biaya tanam minimum, tentukan berapa banyak masing-masing padi dan jagung yang harus ditanam.
Pembahasan :
Sama seperti menentukan nilai maksimum suatu fungsi objektif, untuk menentukan nilai minimum suatu fungsi objektif, kita juga terlebih dahulu menentukan sistem pertidaksamaan yang bersesuain dengan soal cerita. Salah satu ciri khas dari menentukan nilai minimum biasanya model matematikanya kebanyakan dalam bentuk lebih dari sama dengan (≥).
Jika dikaji berdasarkan model matematika program linear, maka biaya tanam minimum merupakan nilai minimum dari suatu fungsi objektif. Oleh karena itu, untuk menentukan nilai minimum tersebut, tentu kita harus menyusun terlebih dahulu fungsi objektifnya.
Untuk menyusun fungsi objektif atau fungsi tujuan, maka kita harus jeli menelaah soal cerita. Fungsi tujuan untuk soal di atas dinyatakan dalam variabel luas tanaman padi dan luas tanaman jagung. Karena itu, dapat dilakkan pemisalah sebagai berikut:
1). Luas tanaman padi = x
2). Luas tanaman jagung = y
Jika dinyatakan dalam variabel x dan y, maka fungsi tujuannya adalah:
F(x,y) = 400.000x + 200.000y
Arti dari fungsi tujuan di atas adalah berapa nilai x (luas tanaman padi) dan nilai y (luas tanaman jagung) agar fungsi tujuan F menghasilkan nilai minimum. Dengan kata lain, agar biaya tanam yang dikeluarkan minimum.
Model matematika yang memenuhi soal di atas adalah :
1). Paling sedikit 2 hektar padi → x ≥ 2
2). Paling banyak 6 hektar padi → x ≤ 6
3). Paling sedikit 4 hektar jagung → y ≥ 4
4). Paling banyak 6 hektar padi → y ≤ 6
5). Tanah tidak kurang 10 hektar → x + y ≥ 10
Selanjutnya gambarkan grafik yang bersesuaian dengan masing-masing pertidaksamaan di atas dan tentukan daerah himpunan penyelesaiannya. Perhatikan grafik pada gambar di bawah ini terdapat 5 garis yang mewakili kelima pertidaksamaan di atas.
Untu garis x + y = 10, titik potongnya ditentukan sebagai berikut:
1). Untuk x = 0 → y = 10, maka titik potong (0, 10)
2). Untuk y = 0 → x = 10, maka titik potong (10, 0)
Untuk menentukan daerah himpunan penyelesaian sistem, perhatikan arah HP untuk masing-masing garis kemudian temukan titik temunya. Pada gambar di bawah ini, tanda panah menunjukkan HP untuk masing-masing garis dan kombinasi dari kelimanya adalah daerah yang diarsir dengan tiga titik pojok ABC.
Langkah berikutnya adalah menguji masing-masing titik pojok untuk mengetahui titik mana yang menghasilkan nilai minimum. Dari grafik diketahui titik pojok A(4,6), B(6,6), dan C(6,4).
Substitusi ke fungsi tujuan F(x,y) = 400.000x + 200.000y, maka diperoleh :
1). A(4,6) → F(4,6) = 400.000(4) + 200.000(6) = 2.800.000
2). B(6,6) → F(6,6) = 400.000(6) + 200.000(6) = 3.600.000
3). C(6,4) → F(6,4) = 400.000(6) + 200.000(4) = 3.200.000
Dari perhitungan di atas, maka jelas terlihat bahwa titik pojok yang menghasilkan nilai paling kecil adalah titik A(4, 6). Dengan demikian, agar biaya tanam minimum, maka petani tersebut sebaiknya menanam 4 hektar padi dan 6 hektar jagung.
Sama seperti menentukan nilai maksimum suatu fungsi objektif, untuk menentukan nilai minimum suatu fungsi objektif, kita juga terlebih dahulu menentukan sistem pertidaksamaan yang bersesuain dengan soal cerita. Salah satu ciri khas dari menentukan nilai minimum biasanya model matematikanya kebanyakan dalam bentuk lebih dari sama dengan (≥).
Jika dikaji berdasarkan model matematika program linear, maka biaya tanam minimum merupakan nilai minimum dari suatu fungsi objektif. Oleh karena itu, untuk menentukan nilai minimum tersebut, tentu kita harus menyusun terlebih dahulu fungsi objektifnya.
Untuk menyusun fungsi objektif atau fungsi tujuan, maka kita harus jeli menelaah soal cerita. Fungsi tujuan untuk soal di atas dinyatakan dalam variabel luas tanaman padi dan luas tanaman jagung. Karena itu, dapat dilakkan pemisalah sebagai berikut:
1). Luas tanaman padi = x
2). Luas tanaman jagung = y
Jika dinyatakan dalam variabel x dan y, maka fungsi tujuannya adalah:
F(x,y) = 400.000x + 200.000y
Arti dari fungsi tujuan di atas adalah berapa nilai x (luas tanaman padi) dan nilai y (luas tanaman jagung) agar fungsi tujuan F menghasilkan nilai minimum. Dengan kata lain, agar biaya tanam yang dikeluarkan minimum.
Model matematika yang memenuhi soal di atas adalah :
1). Paling sedikit 2 hektar padi → x ≥ 2
2). Paling banyak 6 hektar padi → x ≤ 6
3). Paling sedikit 4 hektar jagung → y ≥ 4
4). Paling banyak 6 hektar padi → y ≤ 6
5). Tanah tidak kurang 10 hektar → x + y ≥ 10
Selanjutnya gambarkan grafik yang bersesuaian dengan masing-masing pertidaksamaan di atas dan tentukan daerah himpunan penyelesaiannya. Perhatikan grafik pada gambar di bawah ini terdapat 5 garis yang mewakili kelima pertidaksamaan di atas.
Untu garis x + y = 10, titik potongnya ditentukan sebagai berikut:
1). Untuk x = 0 → y = 10, maka titik potong (0, 10)
2). Untuk y = 0 → x = 10, maka titik potong (10, 0)
Untuk menentukan daerah himpunan penyelesaian sistem, perhatikan arah HP untuk masing-masing garis kemudian temukan titik temunya. Pada gambar di bawah ini, tanda panah menunjukkan HP untuk masing-masing garis dan kombinasi dari kelimanya adalah daerah yang diarsir dengan tiga titik pojok ABC.
Langkah berikutnya adalah menguji masing-masing titik pojok untuk mengetahui titik mana yang menghasilkan nilai minimum. Dari grafik diketahui titik pojok A(4,6), B(6,6), dan C(6,4).
Substitusi ke fungsi tujuan F(x,y) = 400.000x + 200.000y, maka diperoleh :
1). A(4,6) → F(4,6) = 400.000(4) + 200.000(6) = 2.800.000
2). B(6,6) → F(6,6) = 400.000(6) + 200.000(6) = 3.600.000
3). C(6,4) → F(6,4) = 400.000(6) + 200.000(4) = 3.200.000
Dari perhitungan di atas, maka jelas terlihat bahwa titik pojok yang menghasilkan nilai paling kecil adalah titik A(4, 6). Dengan demikian, agar biaya tanam minimum, maka petani tersebut sebaiknya menanam 4 hektar padi dan 6 hektar jagung.
Edutafsi.com adalah blog tentang bahan belajar. Gunakan menu atau penelusuran untuk menemukan bahan belajar yang ingin dipelajari.