Edutafsi.com - (Contoh 5 : Menentukan Syarat Nilai Maksimum Fungsi Tujuan)
Menjelang hari raya Idul Adha, Pak
Mahmud hendak menjual sapi dan kerbau. Harga seekor sapi dan kerbau di
Medan berturut-turut Rp 9.000.000,00 dan Rp 8.000.000,00. Modal yang
dimiliki pak Mahmud adalah Rp 124.000.000,00. Pak Mahmud menjual sapi
dan kerbau di Aceh dengan harga berturut-turut Rp 10.300.000,00 dan Rp
9.200.000,00. Kandang yang ia miliki hanya dapat menampung tidak lebih
dari 15 ekor. Agar mencapai keuntungan maksimum, tentukanlah banyak sapi
dan kerbau yang harus dibeli pak Mahmud!
Pembahasan :
Karena ditanya keuntungan maksimum, maka fungsi tujuannya berkaitan dengan besar keuntungan dari penjualan sapi dan kerbau. Dengan demikian, fungsi tujuan untuk soal di atas dapat dinyatakan dalam variabel banyak sapi dan banyak kerbau yang harus dibeli.
Karena variabelnya adalah jumlah hewan kurban, maka dapat dilakukan pemisalan sebagai berikut:
1). Banyak sapi yang dibeli = x
2). Banyak kerbau yang dibeli = y
Selain jumlah hewan kurban yang dibeli, fungsi tujuan juga bergantung pada besar keuntungan yang diperoleh dari penjualan sapi atau kerbau. Oleh karena itu kita juga harus menghitung keuntungan penjualan sapi dan kerbau terlebih dahulu.
Berikut keuntungan dari penjualan masing-masing hewan :
1). Untung jual sapi = Rp 10.300.000,00 - Rp 9.000.000,00 = Rp 1.300.000,00
2). Untung jual kerbau = Rp 9.200.000,00 - Rp 8.000.000,00 = Rp 1.200.000,00
Jika dinyatakan dalam variabel x dan y, maka fungsi tujuannya adalah :
F(x,y) = 1.300.000x + 1.200.000y
Arti dari fungsi tujuan tersebut adalah berapa nilai x (banyak sapi yang dibeli) dan nilai y (banyak kerbau yang dibeli agar diperoleh nilai F maksimum. Dengan kata lain agar diperoleh keuntungan yang maksimum.
Model matematika yang memenuhi soal adalah :
1). Banyak sapi tidak mungkin negatif → x ≥ 0
2). Banyak kerbau tidak mungkin negatif → y ≥ 0
3). Daya tampung kandang tidak lebih dari 15 ekor → x + y ≤ 15
4). 9.000.000x + 8.000.000y ≤ 124.000.000 → 9x + 8y ≤ 124
Selanjutnya, kita tentukan titik koordinat masing-masing garis agar dapat kita gambar dalam grafik.
Untuk x + y = 15
1). Jika x = 0, maka y = 15 → titik potong (0,15)
2). Jika y = 0, maka x = 15 → titik potong (15,0)
Untuk 9x + 8y = 124
1). Jika x = 0, maka y = 15,5 → titik potong (0, 16)
2). Jika y = 0, maka x = 13,7 → titik potong (13 ,0)
Keterangan : titik potong pertama digenapkan menjadi 16 karena jumlah sapi tidak mungkin 1/2. Titik kedua digenapkan menjadi 13 karena melihat kondisi grafik, titik ini akan menjadi titik pojok, jadi 13,7 tidak digenapkan ke 14 karena jika dibulatkan ke 14 maka akan lebih dari Rp 124.000.000,00.
Dari grafik di atas dieproleh tiga titik pojok yang memenuhi syarat untuk menghasilkan nilai maksimum yaitu titik A, B, dan C. Titi A dan C dapat ditentukan secara langsung yaitu A(0,15) dan C(13,0).
Titik B merupakan titik potong antara garis x + y = 15 dan 9x + 8y = 124.
⇒ x + y = 15
⇒ x = 15 - y
Substitusi ke persamaan 9x + 8y = 124
⇒ 9(15 - y) + 8y = 124
⇒ 135 - 9y + 8y = 124
⇒ y = 11
Substitusi nilai y untuk memperoleh nilai x :
Selanjutnya substitusi masing-masing titik ke fungsi tujuan :
1). A(0,15) → F(x,y) = 1.300.000(0) + 1.200.000(15) = 18.000.000
2). B(4,11) → F(x,y) = 1.300.000(4) + 1.200.000(11) = 18.400.000
3). C(13,0) → F(x,y) = 1.300.000(13) + 1.200.000(0) = 16.900.000
Dari perhitungan di atas dapat dilihat bahwa titik yang menghasilkan nilai terbesar adalah titik B(4, 11). Jadi, agar keuntungannya maksimum, jumlah sapi dan kerbau yang harus dibeli pak Mahmud adalah 4 ekor sapi dan 11 ekor kerbau.
Contoh 6 : Menentukan Laba Maksimum Berdasarkan Fungsi Tujuan
Seorang pedagang menjual buah mangga dan pisang dengan menggunakan
gerobak. Pedagang tersebut membeli mangga dengan harga Rp 8.000,00/kg
dan pisang Rp 6.000,00/kg. Modal yang tersedia Rp 1.200.000,00 dan
gerobaknya hanya dapat menampung mangga dan pisang sebanyak 180 kg. Jika
harga jual mangga Rp 9.200,00/kg dan pisang Rp 7.000,00/kg, maka
tentukanlah laba maksimum yang diperoleh pedagang tersebut.
Contoh 7 : Menentukan Titik Optimum Fungsi Tujuan
Sebuah perusahaan properti memproduksi dua macam lemari pakaian yaitu tipe lux dan tipe sport dengan menggunakan 2 bahan dasar yang sama yaitu kayu jati dan cat pernis. Untuk memproduksi 1 unit tipe lux dibutuhkan 10 batang kayu jati dan 3 kaleng cat pernis, sedangkan untuk memproduksi 1 unit tipe sport dibutuhkan 6 batang kayu jati dan 1 kaleng cat pernis.
Biaya produksi tipe lux dan tipe sport masing-masing adalah Rp 40.000 dan Rp 28.000 per unit. Untuk satu periode produksi, perusahaan menggunakan paling sedikit 120 batang kayu jati dan 24 kaleng cat pernis. Bila perusahaan harus memproduksi lemari tipe lux paling sedikit 2 buah dan tipe sport paling sedikit 4 buah, tentukan banyak lemari tipe lux dan tipe sport yang harus diproduksi agar biaya produksinya minimum.
Baca juga : Pembahasan Titik Optimum Fungsi Tujuan >>
Pembahasan :
Karena ditanya keuntungan maksimum, maka fungsi tujuannya berkaitan dengan besar keuntungan dari penjualan sapi dan kerbau. Dengan demikian, fungsi tujuan untuk soal di atas dapat dinyatakan dalam variabel banyak sapi dan banyak kerbau yang harus dibeli.
Karena variabelnya adalah jumlah hewan kurban, maka dapat dilakukan pemisalan sebagai berikut:
1). Banyak sapi yang dibeli = x
2). Banyak kerbau yang dibeli = y
Selain jumlah hewan kurban yang dibeli, fungsi tujuan juga bergantung pada besar keuntungan yang diperoleh dari penjualan sapi atau kerbau. Oleh karena itu kita juga harus menghitung keuntungan penjualan sapi dan kerbau terlebih dahulu.
Berikut keuntungan dari penjualan masing-masing hewan :
1). Untung jual sapi = Rp 10.300.000,00 - Rp 9.000.000,00 = Rp 1.300.000,00
2). Untung jual kerbau = Rp 9.200.000,00 - Rp 8.000.000,00 = Rp 1.200.000,00
Jika dinyatakan dalam variabel x dan y, maka fungsi tujuannya adalah :
F(x,y) = 1.300.000x + 1.200.000y
Arti dari fungsi tujuan tersebut adalah berapa nilai x (banyak sapi yang dibeli) dan nilai y (banyak kerbau yang dibeli agar diperoleh nilai F maksimum. Dengan kata lain agar diperoleh keuntungan yang maksimum.
Model matematika yang memenuhi soal adalah :
1). Banyak sapi tidak mungkin negatif → x ≥ 0
2). Banyak kerbau tidak mungkin negatif → y ≥ 0
3). Daya tampung kandang tidak lebih dari 15 ekor → x + y ≤ 15
4). 9.000.000x + 8.000.000y ≤ 124.000.000 → 9x + 8y ≤ 124
Selanjutnya, kita tentukan titik koordinat masing-masing garis agar dapat kita gambar dalam grafik.
Untuk x + y = 15
1). Jika x = 0, maka y = 15 → titik potong (0,15)
2). Jika y = 0, maka x = 15 → titik potong (15,0)
Untuk 9x + 8y = 124
1). Jika x = 0, maka y = 15,5 → titik potong (0, 16)
2). Jika y = 0, maka x = 13,7 → titik potong (13 ,0)
Keterangan : titik potong pertama digenapkan menjadi 16 karena jumlah sapi tidak mungkin 1/2. Titik kedua digenapkan menjadi 13 karena melihat kondisi grafik, titik ini akan menjadi titik pojok, jadi 13,7 tidak digenapkan ke 14 karena jika dibulatkan ke 14 maka akan lebih dari Rp 124.000.000,00.
Titik B merupakan titik potong antara garis x + y = 15 dan 9x + 8y = 124.
⇒ x + y = 15
⇒ x = 15 - y
Substitusi ke persamaan 9x + 8y = 124
⇒ 9(15 - y) + 8y = 124
⇒ 135 - 9y + 8y = 124
⇒ y = 11
Substitusi nilai y untuk memperoleh nilai x :
⇒ x + y = 15
⇒ x + 11 = 15
⇒ x = 4
Jadi titik B(4,11)
Jadi titik B(4,11)
Selanjutnya substitusi masing-masing titik ke fungsi tujuan :
1). A(0,15) → F(x,y) = 1.300.000(0) + 1.200.000(15) = 18.000.000
2). B(4,11) → F(x,y) = 1.300.000(4) + 1.200.000(11) = 18.400.000
3). C(13,0) → F(x,y) = 1.300.000(13) + 1.200.000(0) = 16.900.000
Dari perhitungan di atas dapat dilihat bahwa titik yang menghasilkan nilai terbesar adalah titik B(4, 11). Jadi, agar keuntungannya maksimum, jumlah sapi dan kerbau yang harus dibeli pak Mahmud adalah 4 ekor sapi dan 11 ekor kerbau.
Contoh 6 : Menentukan Laba Maksimum Berdasarkan Fungsi Tujuan
Baca juga : Pembahasan Laba Maksimum >>
Contoh 7 : Menentukan Titik Optimum Fungsi Tujuan
Biaya produksi tipe lux dan tipe sport masing-masing adalah Rp 40.000 dan Rp 28.000 per unit. Untuk satu periode produksi, perusahaan menggunakan paling sedikit 120 batang kayu jati dan 24 kaleng cat pernis. Bila perusahaan harus memproduksi lemari tipe lux paling sedikit 2 buah dan tipe sport paling sedikit 4 buah, tentukan banyak lemari tipe lux dan tipe sport yang harus diproduksi agar biaya produksinya minimum.
Baca juga : Pembahasan Titik Optimum Fungsi Tujuan >>
Edutafsi.com adalah blog tentang bahan belajar. Gunakan menu atau penelusuran untuk menemukan bahan belajar yang ingin dipelajari.