Edutafsi.com - Jumlah Beberapa Suku Barisan Aritmatika. Seperti yang telah dibahas pada beberapa artikel sebelumnya, dalam barisan aritmatika terdapat beberapa variabel yang menjadi kajian khusus seperti suku pertama, suku tengah, suku ke-n, beda barisan, dan suku sisipan. Menentukan suku ke-n merupakan salah satu topik yang cukup sering dibahas dalam barisan aritmatika dan pembahasan tentang suku ke-n ini terdiri dari beberapa kondisi. Kondisi-kondisi tersebut dapat dilihat dari beberapa model soal tentang suku ke-n yang sering keluar dalam soal latihan atau soal ujian. Pada kesempatan ini, edutafsi akan membahasa satu lagi kondisi yang umum keluar dalam soal menentukan suku ke-n, yaitu jika jumlah beberapa sukunya diketahui.
Suku ke-n umumnya disimbolkan dengan Un dan dinyatakan dalam bentuk persamaan yang menunjukkan hubungannya dengan suku pertama, beda, dan banyak suku. Hubungan suku ke-n dengan suku pertama dan beda secara umum dinyatakan sebagai berikut:
Keterangan :
Un = suku ke-n barisan aritmatka (n = 1, 2, 3, 4, ...)
a = suku pertama barisan aritmatika
b = beda barisan aritmatika.
Jika dalam soal diketahui suku pertama, beda barisan, dan banyak sukunya, maka suku ke-n barisan tersebut tentu sangat mudah ditentukan dengan cara mensubstitusi nilai a, b, dan n yang diketahui dalam soal ke rumus umum di atas. Lalu bagaimana jika a dan b tidak diketahui?
Rumus Un juga dapat dimanfaatkan untuk menentukan suku ke-n suatu barisan aritmatika jika jumlah dari beberapa suku diketahui. Dalam hal ini, suku-suku tersebut biasanya merupakan suku-suku yang letaknya tidak berurutan.
Jika pada soal diketahui jumlah beberapa sukunya misalnya U1 + U4 + U7 = x, maka suku ke-n barisan tersebut dapat ditentukan dengan cara mensubstitusi persamaan untuk masing-masing suku ke dalam penjumlahan tersebut sehingga dihasilkan sebuah persamaan linear dua variabel.
Pada kebanyakan soal, biasanya persamaan yang terbentuk itu merupakan jawaban untuk suku ke-n yang ditanya. Jadi, persamaan linear dua variabel (dalam variabel a dan b) yang terbentuk merupakan persamaan untuk suku ke-n yang dintanya. Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh berikut.
Contoh 1 :
Dalam suatu barisan aritmatika, diketahui jumlah suku ke-2, suku ke-15, dan suku ke-40 adalah 165. Jika Un menyatakan suku ke-n barisan tersebut, maka tentukanlah suku ke-19 barisan itu!
Pembahasan :
Dik : U2 + U15 + U40 =165
Dit : U19 = .... ?
Persamaan untuk suku ke-2, masukkan n = 2 :
⇒ Un = a + (n − 1)b
⇒ U2 = a + (2 − 1)b
⇒ U2 = a + b
Persamaan untuk suku ke-15, masukkan n = 15 :
⇒ Un = a + (n − 1)b
⇒ U15 = a + (15 − 1)b
⇒ U15 = a + 14b
Persamaan untuk suku ke-40, masukkan n = 40 :
⇒ Un = a + (n − 1)b
⇒ U40 = a + (40 − 1)b
⇒ U40 = a + 39b
Substitusi persamaan U2, U15, dan U40 ke penjumlahan suku sebabagi berikut :
⇒ U2 + U15 + U40 = 165
⇒ (a + b) + (a + 14b) + (a + 39b) = 165
⇒ 3a + 54b = 165
Kedua ruas sama-sama dibagi 3, maka akan diperoleh :
⇒ a + 18b = 55
Nah, sekarang kembali ke soal. Pada soal kita diminta menentukan suku ke-19. Coba perhatikan persamaan yang kita peroleh pada langlah terakhir di atas. Persamaan a + 18b merupakan persamaan untuk suku ke-19. Dengan demikian berlaku :
Persamaan untuk suku ke-19, masukkan n = 19 :
⇒ Un = a + (n − 1)b
⇒ U19 = a + (19 − 1)b
⇒ U19 = a + 18b
⇒ U19 = 55
Jadi, suku ke-19 barisan tersebut adalah 55. Soal seperti ini biasanya membuat murid bingung karena a dan b tidak dapat ditentukan sebab hanya ada satu persaman linear dua variabel yang terbentuk. Kebanyaka murid akan berhenti di langkah terakhir dan tidak sadar bahwa mereka sudah menemukan jawabannya.
Contoh 2 :
Jika U1 + U10 + U19 = 96, maka tentukanlah suku ke-10 barisan aritmatika tersebut!
Pembahasan :
Dik : U1 + U10 + U19 = 96
Dit : U10 = .... ?
Persamaan untuk suku ke-10 :
⇒ U10 = a + 9b
Substitusi persamaan untuk masing-masing suku :
⇒ U1 + U10 + U19 = 96
⇒ a + (a + 9b) + (a + 18b) = 96
⇒ 3a + 27b = 96
⇒ a + 9b = 32
⇒ U10 = 32
Jadi, suku kesepuluh barisan tersebut adalah 96.
A. Rumus Umum Suku ke-n
Secara umum, untuk menentukan suku ke-n suatu barisan aritmatika, maka konsep dasar yang diperlukan adalah rumus umum suku ke-n. Dengan bermodalkan rumus umum tesebut, biasanya soal-soal yang berhubungan dengan suku ke-n dapat diselesaikan dengan mudah. Dalam hal ini, tentu saja murid juga harus paam betul bagaimana pola barisan aritmatika.Suku ke-n umumnya disimbolkan dengan Un dan dinyatakan dalam bentuk persamaan yang menunjukkan hubungannya dengan suku pertama, beda, dan banyak suku. Hubungan suku ke-n dengan suku pertama dan beda secara umum dinyatakan sebagai berikut:
| Un = a + (n − 1)b |
Keterangan :
Un = suku ke-n barisan aritmatka (n = 1, 2, 3, 4, ...)
a = suku pertama barisan aritmatika
b = beda barisan aritmatika.
Jika dalam soal diketahui suku pertama, beda barisan, dan banyak sukunya, maka suku ke-n barisan tersebut tentu sangat mudah ditentukan dengan cara mensubstitusi nilai a, b, dan n yang diketahui dalam soal ke rumus umum di atas. Lalu bagaimana jika a dan b tidak diketahui?
B. Jumlah Beberapa Suku Diketahui
Pada dasarnya, kita tetap dapat memanfaatkan rumus suku ke-n barisan aritmatika walaupun nilai a dan b tidak diketahui. Asal diketahui beberapa suku dalam barisan tersebut, maka kita dapat memanfaatkan rumus Un dan konsep sistem persaman linear dua variabel untuk menentukan suku ke-n.Rumus Un juga dapat dimanfaatkan untuk menentukan suku ke-n suatu barisan aritmatika jika jumlah dari beberapa suku diketahui. Dalam hal ini, suku-suku tersebut biasanya merupakan suku-suku yang letaknya tidak berurutan.
Jika pada soal diketahui jumlah beberapa sukunya misalnya U1 + U4 + U7 = x, maka suku ke-n barisan tersebut dapat ditentukan dengan cara mensubstitusi persamaan untuk masing-masing suku ke dalam penjumlahan tersebut sehingga dihasilkan sebuah persamaan linear dua variabel.
Pada kebanyakan soal, biasanya persamaan yang terbentuk itu merupakan jawaban untuk suku ke-n yang ditanya. Jadi, persamaan linear dua variabel (dalam variabel a dan b) yang terbentuk merupakan persamaan untuk suku ke-n yang dintanya. Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh berikut.
Contoh 1 :
Dalam suatu barisan aritmatika, diketahui jumlah suku ke-2, suku ke-15, dan suku ke-40 adalah 165. Jika Un menyatakan suku ke-n barisan tersebut, maka tentukanlah suku ke-19 barisan itu!
Pembahasan :
Dik : U2 + U15 + U40 =165
Dit : U19 = .... ?
Persamaan untuk suku ke-2, masukkan n = 2 :
⇒ Un = a + (n − 1)b
⇒ U2 = a + (2 − 1)b
⇒ U2 = a + b
Persamaan untuk suku ke-15, masukkan n = 15 :
⇒ Un = a + (n − 1)b
⇒ U15 = a + (15 − 1)b
⇒ U15 = a + 14b
Persamaan untuk suku ke-40, masukkan n = 40 :
⇒ Un = a + (n − 1)b
⇒ U40 = a + (40 − 1)b
⇒ U40 = a + 39b
Substitusi persamaan U2, U15, dan U40 ke penjumlahan suku sebabagi berikut :
⇒ U2 + U15 + U40 = 165
⇒ (a + b) + (a + 14b) + (a + 39b) = 165
⇒ 3a + 54b = 165
Kedua ruas sama-sama dibagi 3, maka akan diperoleh :
⇒ a + 18b = 55
Nah, sekarang kembali ke soal. Pada soal kita diminta menentukan suku ke-19. Coba perhatikan persamaan yang kita peroleh pada langlah terakhir di atas. Persamaan a + 18b merupakan persamaan untuk suku ke-19. Dengan demikian berlaku :
Persamaan untuk suku ke-19, masukkan n = 19 :
⇒ Un = a + (n − 1)b
⇒ U19 = a + (19 − 1)b
⇒ U19 = a + 18b
⇒ U19 = 55
Jadi, suku ke-19 barisan tersebut adalah 55. Soal seperti ini biasanya membuat murid bingung karena a dan b tidak dapat ditentukan sebab hanya ada satu persaman linear dua variabel yang terbentuk. Kebanyaka murid akan berhenti di langkah terakhir dan tidak sadar bahwa mereka sudah menemukan jawabannya.
Contoh 2 :
Jika U1 + U10 + U19 = 96, maka tentukanlah suku ke-10 barisan aritmatika tersebut!
Pembahasan :
Dik : U1 + U10 + U19 = 96
Dit : U10 = .... ?
Persamaan untuk suku ke-10 :
⇒ U10 = a + 9b
Substitusi persamaan untuk masing-masing suku :
⇒ U1 + U10 + U19 = 96
⇒ a + (a + 9b) + (a + 18b) = 96
⇒ 3a + 27b = 96
⇒ a + 9b = 32
⇒ U10 = 32
Jadi, suku kesepuluh barisan tersebut adalah 96.
Edutafsi.com adalah blog tentang bahan belajar. Gunakan menu atau penelusuran untuk menemukan bahan belajar yang ingin dipelajari.