Edutafsi.com - Jumlah Suku Berdasarkan Jumlah Total Deret Aritmatika. Soal dasar yang berhubungan dengan jumlah n suku pertama suatu barisan atau deret aritmatika biasanya selalu mengacu pada perintah menentukan berapa jumlah n suku atau jumlah total dari deret tersebut. Ada dua rumus umum yang biasa digunakan untuk menentukan jumlah n suku pertama, yaitu jika suku awal dan suku ke-n diketahui atau dengan rumus kedua jika suku awal dan beda diketahui. Kedua rumus tersebut dapat digunakan jika banyak suku (n) diketahui. Lalu bagaimana jika soalnya dibalik? Anda diminta menentukan banyak suku suatu deret jika jumlah total deret tersebut diketahui. Bagaimana cara menentukannya?
Secara umum terdapat dua kondisi dalam soal penentuan jumlah n suku pertama, yaitu:
1). Suku pertama dan suku ke-n diketahui
2). Suku pertama dan beda diketahui.
Pada kasus lain, ada juga kondisi dimana kita diminta menentukan jumlah n suku pertama jika banya suku (n) tidak diketahui. Namun kondisi itu masih bisa diselesaikan dengan menggunakan salah satu rumus utama menentukan jumlah n suku pertama (Sn).
#1 Jika a dan Un diketahui
Jika di dalam soal diketahui suku pertama dan suku ke-n (n = 1, 2, 3, ...), maka jumlah n suku pertama dapat dihitung menggunakan rumus berikut :
#2 Jika a dan b diketahui
Jika di dalam soal suku ke-n tidak diketahui, maka kita dapat memanfaatkan nilai a dan b yang diketahui dalam soal. Jumlah n suku pertama dapat dihitung dengan rumus berikut :
Dengan Sn menyatakan jumlah n suku pertama, a menyatakan suku pertama barisan aritmatika, Un menyatakan suku ke-n, b menyatakan beda barisan aritmatika, dan n menyatakan banyak suku barisan atau deret aritmatika.
Sama seperti bentuk soalnya yang dibalik, untuk menentukan banyak suku (n) suatu barisan atau deret aritmatika jika jumlah n suku atau jumlah total deret aritmatika diketahui, kita dapat memanfaatkan salah satu rumus Sn di atas dengan cara membalikannya.
Pada pembahasan ini, kita akan membahas suatu model soal yang dapat diselesaikan dengan menggunakan rumus Sn kedua, yaitu jika suku pertama (a), beda barisan (b) diketahui. Penyelesaiannya cukup mudah, yaitu dengan mensubstitusi nilai-nilai yang diketahui ke rumus Sn tersebut.
Rumus Sn yang akan kita gunakan dapat diubah menjadi bentuk persamaan kuadrat dalam variabel n. Selanjutnya, untuk mengetahui berapa nilai n, kita dapat memanfaatkan konsep penyelesaian persamaan kuadrat. Bisa menggunakan pemaktoran atau dengan rumus kuadrat abc.
Coba perhatikan penguraian rumus Sn menjadi bentuk persamaan kuadrat :
⇒ Sn = n/2 {2a + (n - 1)b}
⇒ Sn = n/2 {2a + bn - b}
⇒ Sn = an + 1/2 bn2 - b/2 n}
⇒ Sn = (a - b/2)n + 1/2 bn2
⇒ 1/2 bn2 + (a - b/2)n - Sn = 0
Dari penguraian di atas, jika Sn, a, dan b diketahui, maka akan kita peroleh persamaan kuadrat dalam variabel n. Untuk lebih jelasnya mari kita lihat contoh berikut ini.
Contoh :
Tentukan banyak suku dari deret 10 + 14 + 18 + ... yang memberikan jumlah total 120!
Pembahasan :
Dik : a = 10, b = 14 - 10 = 4, Sn = 120
Dit : n = ... ?
Substitusi nilai a, b, dan Sn ke rumus jumlah n suku :
⇒ Sn = n/2 {2a + (n - 1)b}
⇒ 120 = n/2 {2.10 + (n - 1)4}
⇒ 120 = n/2 (20 + 4n - 4)
⇒ 120 = n/2 (16 + 4n)
⇒ 120 = 8n + 2n2
⇒ 60 = 4n + n2
⇒ n2 + 4n - 60 = 0
Pada tahap ini kita sudah memperoleh persamaan kuadrat dalam variabel n. Selanjutnya adalah menentukan nilai n dengan metode pemfaktoran, sebagai berikut :
⇒ n2 + 4n - 60 = 0
⇒ (n + 10)(n - 6) = 0
⇒ n = -10 atau n = 6
Karena jumlah atau banyak n adalah positif (n = 1, 2, 3, ...), maka nilai n yang memenuhi adalah n = 6. Jadi, banya suku agar jumlah deret tersebut 120 adalah 6 suku.
A. Rumus Dasar Jumlah Deret (Sn)
Jumlah n suku pertama (Sn) dalam suatu deret aritmatika merupakan nilai yang menyatakan hasil dari penjumlahan n suku pertama dalam deret tersebut. Jika lima suku pertama yang dijumlahkan, maka jumlah n suku yang dimaksud adalah S5. Jika sepuluh suku pertama yang dijumlahkan maka, yang dimaksud adalah S10, begitu sebaliknya.Secara umum terdapat dua kondisi dalam soal penentuan jumlah n suku pertama, yaitu:
1). Suku pertama dan suku ke-n diketahui
2). Suku pertama dan beda diketahui.
Pada kasus lain, ada juga kondisi dimana kita diminta menentukan jumlah n suku pertama jika banya suku (n) tidak diketahui. Namun kondisi itu masih bisa diselesaikan dengan menggunakan salah satu rumus utama menentukan jumlah n suku pertama (Sn).
#1 Jika a dan Un diketahui
Jika di dalam soal diketahui suku pertama dan suku ke-n (n = 1, 2, 3, ...), maka jumlah n suku pertama dapat dihitung menggunakan rumus berikut :
| Sn = n/2 (a + Un) |
#2 Jika a dan b diketahui
Jika di dalam soal suku ke-n tidak diketahui, maka kita dapat memanfaatkan nilai a dan b yang diketahui dalam soal. Jumlah n suku pertama dapat dihitung dengan rumus berikut :
| Sn = n/2 {2a + (n - 1)b} |
Dengan Sn menyatakan jumlah n suku pertama, a menyatakan suku pertama barisan aritmatika, Un menyatakan suku ke-n, b menyatakan beda barisan aritmatika, dan n menyatakan banyak suku barisan atau deret aritmatika.
B. Cara Menentukan Banyak Suku (n)
Banyak suku (n) dalam suatu deret atau barisan aritmatika, secara sederhana dapat diartikan sebagai banyak anggota atau banyak bilangan (jika suku tersebut merupakan bilangan atau angka) dalam deret tersebut. Dalam penentuan nilai n perlu diingat bahwa n tidak pernah negatif sebab banyak suku merupakan biangan bulat positif tanpa nol (n = 1, 2, 3, ...).Sama seperti bentuk soalnya yang dibalik, untuk menentukan banyak suku (n) suatu barisan atau deret aritmatika jika jumlah n suku atau jumlah total deret aritmatika diketahui, kita dapat memanfaatkan salah satu rumus Sn di atas dengan cara membalikannya.
Pada pembahasan ini, kita akan membahas suatu model soal yang dapat diselesaikan dengan menggunakan rumus Sn kedua, yaitu jika suku pertama (a), beda barisan (b) diketahui. Penyelesaiannya cukup mudah, yaitu dengan mensubstitusi nilai-nilai yang diketahui ke rumus Sn tersebut.
Rumus Sn yang akan kita gunakan dapat diubah menjadi bentuk persamaan kuadrat dalam variabel n. Selanjutnya, untuk mengetahui berapa nilai n, kita dapat memanfaatkan konsep penyelesaian persamaan kuadrat. Bisa menggunakan pemaktoran atau dengan rumus kuadrat abc.
Coba perhatikan penguraian rumus Sn menjadi bentuk persamaan kuadrat :
⇒ Sn = n/2 {2a + (n - 1)b}
⇒ Sn = n/2 {2a + bn - b}
⇒ Sn = an + 1/2 bn2 - b/2 n}
⇒ Sn = (a - b/2)n + 1/2 bn2
⇒ 1/2 bn2 + (a - b/2)n - Sn = 0
Dari penguraian di atas, jika Sn, a, dan b diketahui, maka akan kita peroleh persamaan kuadrat dalam variabel n. Untuk lebih jelasnya mari kita lihat contoh berikut ini.
Contoh :
Tentukan banyak suku dari deret 10 + 14 + 18 + ... yang memberikan jumlah total 120!
Pembahasan :
Dik : a = 10, b = 14 - 10 = 4, Sn = 120
Dit : n = ... ?
Substitusi nilai a, b, dan Sn ke rumus jumlah n suku :
⇒ Sn = n/2 {2a + (n - 1)b}
⇒ 120 = n/2 {2.10 + (n - 1)4}
⇒ 120 = n/2 (20 + 4n - 4)
⇒ 120 = n/2 (16 + 4n)
⇒ 120 = 8n + 2n2
⇒ 60 = 4n + n2
⇒ n2 + 4n - 60 = 0
Pada tahap ini kita sudah memperoleh persamaan kuadrat dalam variabel n. Selanjutnya adalah menentukan nilai n dengan metode pemfaktoran, sebagai berikut :
⇒ n2 + 4n - 60 = 0
⇒ (n + 10)(n - 6) = 0
⇒ n = -10 atau n = 6
Karena jumlah atau banyak n adalah positif (n = 1, 2, 3, ...), maka nilai n yang memenuhi adalah n = 6. Jadi, banya suku agar jumlah deret tersebut 120 adalah 6 suku.
Edutafsi.com adalah blog tentang bahan belajar. Gunakan menu atau penelusuran untuk menemukan bahan belajar yang ingin dipelajari.