Edutafsi.com - Cara Menentukan Sn Jika n Tidak Diketahui. Sesuai dengan definisinya, jumlah n suku pertama (Sn) suatu deret aritmatika adalah penjumlahan dari n suku pertama dalam deret aritmatika tersebut. S4 artinya menjumlahkan empat suku pertama, S8 artinya menjumlahkan delapan suku pertama, dan begitu seterusnya. Dalam hal ini, n menyatakan banyak suku pertama yang akan dijumlahkan. Dengan demikian, perhitungan jumlah n suku pertama dapat dilakukan jika banyak suku (n) diketahui atau ditentukan dalam soal. Lalu bagaimana jika dalam soal deret ditulis secara tidak lengkap, belum diketahui secara pasti banyak sukunya dan anda diminta untuk menentukan jumlah deret tersebut? Bagaimana cara mengerjakannya?
Ketika suatu deret terdiri dari banyak suku (puluhan atau ratusan), maka umumnya deret tersebut akan ditulis secara singkat dengan cara menulis beberapa suku pertama dan sebuah suku akhir sebagai berikut : U1 + U2 + U3 + U4 + .... + Un. Banyak suku dalam deret seperti ini belum diketahui secara pasti karena hanya diwakili oleh beberapa suku saja.
Pada dasarnya, jumlah n suku pertama dapat ditentukan dengan cara menjumlahkan n suku pertama yang diminta. Misal kita diminta menentukan jumlah suku pertama (S4), maka kita dapat menjumlahkan U1 + U2 + U3 + U4. Tapi itu tentu saja jika seluruh sukunya diketahui.
Lalu bagaimana jika sebuah deret terdiri dari puluhan atau bahkan ratusan suku dan hanya ditulis dalam bentu singkat (anda tidak tahu secara pasti berapa banyak sukunya) dan anda diminta menentukan jumlah total deret tersebut? Tentu langkah pertama yang dapat dilakukan adalah mencari tahu berapa jumlah suku deret tersebut terlebih dahulu.
Sebagai gambaran, perhatikan kedua rumus Sn berikut ini:
Kedua rumus di atas merupakan rumus dasar yang paling umum digunakan untuk menentukan jumlah n suku pertama deret aritmatika. Jika diperhatikan, kedua rumus tersebut mengandung variabel n (banyak suku). Itu artinya, kita dapat menggunakan rumus tersebut untuk menghitung Sn jika banyak suku diketahui.
Jika banya sukunya (n) tidak diketahui, maka harus kita cari terlebih dahulu. Nilai n dapat kita tentukan dengan memanfaatkan rumus suku ke-n (Un) barisan aritmatika. Dalam hal ini, Un menyatakan suku terakhir deret tersebut.
Penentuan n dari rumus Un :
⇒ Un = a + (n - 1)b
⇒ Un = a + bn - b
⇒ Un - a + b = bn
⇒ bn = Un - a + b
⇒ n = (Un - a + b)/b
Jika persamaan n di atas kita substitusi ke rumus Sn pertama, maka diperoleh :
Keterangan : Sn menyatakan jumlah n suku pertama, Un menyatakan suku ke-n atau suku terakhir deret aritmatika, a menyatakan suku pertama, dan b menyatakan beda barisan aritmatika tersebut.
Dengan catatan bahwa suku pertama (a), suku terkakhir (Un), dan beda barisan diketahui, maka nilai n dapat dengan mudah ditentukan. Setelah n diketahui, maka kita dapat menggunakan salah satu dari kedua rumus Sn di atas. Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh berikut.
Contoh :
Tentukan jumlah deret aritmatika berikut ini :
89 + 85 + 81 + ... + (-299)
Pembahasan :
Dik : a = 89, Un = -299, b = 85 - 89 = 81 - 85 = -4
Dit : Sn = .... ?
Cara #1
Langkah pertama kita tentukan banyak sukunya :
⇒ Un = a + (n - 1)b
⇒ -299 = 89 + (n - 1)(-4)
⇒ -299 = 89 - 4n + 4
⇒ -299 - 89 - 4 = -4n
⇒ -392 = -4n
⇒ -4n = -392
⇒ n = -392/-4
⇒ n = 98
Dengan demikian, deret tersebut terdiri dari 98 suku. Jadi, Sn yang dimaksud dalam soal ini adalah S98, sebagai berikut :
⇒ Sn = n/2 (a + Un)
⇒ S98 = 98/2 (89 + (-299))
⇒ S98 = 49 (89 - 299)
⇒ S98 = 49 (-210)
⇒ S98 = -10290
Cara #2
Dengan menggunakan rumus yang kita turunkan di atas :
⇒ Sn = {(-392)(-210)}/-8
⇒ Sn = 82320/-8
⇒ Sn = -10290.
Demikian pembahasan singkat mengenai cara menentukan jumlah n suku pertama (Sn) deret aritmatika jika jumlah atau banyak suku tidak diketahui. Jika bahan belajar ini bermanfaat, bantu kami membagikannya kepada teman anda melalui tombol share di bawah ini.
Ketika suatu deret terdiri dari banyak suku (puluhan atau ratusan), maka umumnya deret tersebut akan ditulis secara singkat dengan cara menulis beberapa suku pertama dan sebuah suku akhir sebagai berikut : U1 + U2 + U3 + U4 + .... + Un. Banyak suku dalam deret seperti ini belum diketahui secara pasti karena hanya diwakili oleh beberapa suku saja.
Pada dasarnya, jumlah n suku pertama dapat ditentukan dengan cara menjumlahkan n suku pertama yang diminta. Misal kita diminta menentukan jumlah suku pertama (S4), maka kita dapat menjumlahkan U1 + U2 + U3 + U4. Tapi itu tentu saja jika seluruh sukunya diketahui.
Lalu bagaimana jika sebuah deret terdiri dari puluhan atau bahkan ratusan suku dan hanya ditulis dalam bentu singkat (anda tidak tahu secara pasti berapa banyak sukunya) dan anda diminta menentukan jumlah total deret tersebut? Tentu langkah pertama yang dapat dilakukan adalah mencari tahu berapa jumlah suku deret tersebut terlebih dahulu.
Sebagai gambaran, perhatikan kedua rumus Sn berikut ini:
| Sn = n/2 (a + Un) |
| Sn = n/2 {2a + (n-1)b} |
Kedua rumus di atas merupakan rumus dasar yang paling umum digunakan untuk menentukan jumlah n suku pertama deret aritmatika. Jika diperhatikan, kedua rumus tersebut mengandung variabel n (banyak suku). Itu artinya, kita dapat menggunakan rumus tersebut untuk menghitung Sn jika banyak suku diketahui.
Jika banya sukunya (n) tidak diketahui, maka harus kita cari terlebih dahulu. Nilai n dapat kita tentukan dengan memanfaatkan rumus suku ke-n (Un) barisan aritmatika. Dalam hal ini, Un menyatakan suku terakhir deret tersebut.
Penentuan n dari rumus Un :
⇒ Un = a + (n - 1)b
⇒ Un = a + bn - b
⇒ Un - a + b = bn
⇒ bn = Un - a + b
⇒ n = (Un - a + b)/b
Jika persamaan n di atas kita substitusi ke rumus Sn pertama, maka diperoleh :
| ⇒ Sn = | n (a + Un) |
| 2 |
| ⇒ Sn = | {(Un - a + b)/b} (a + Un) |
| 2 |
| ⇒ Sn = | (Un - a + b)(a + Un) |
| 2b |
Keterangan : Sn menyatakan jumlah n suku pertama, Un menyatakan suku ke-n atau suku terakhir deret aritmatika, a menyatakan suku pertama, dan b menyatakan beda barisan aritmatika tersebut.
Dengan catatan bahwa suku pertama (a), suku terkakhir (Un), dan beda barisan diketahui, maka nilai n dapat dengan mudah ditentukan. Setelah n diketahui, maka kita dapat menggunakan salah satu dari kedua rumus Sn di atas. Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh berikut.
Contoh :
Tentukan jumlah deret aritmatika berikut ini :
89 + 85 + 81 + ... + (-299)
Pembahasan :
Dik : a = 89, Un = -299, b = 85 - 89 = 81 - 85 = -4
Dit : Sn = .... ?
Cara #1
Langkah pertama kita tentukan banyak sukunya :
⇒ Un = a + (n - 1)b
⇒ -299 = 89 + (n - 1)(-4)
⇒ -299 = 89 - 4n + 4
⇒ -299 - 89 - 4 = -4n
⇒ -392 = -4n
⇒ -4n = -392
⇒ n = -392/-4
⇒ n = 98
Dengan demikian, deret tersebut terdiri dari 98 suku. Jadi, Sn yang dimaksud dalam soal ini adalah S98, sebagai berikut :
⇒ Sn = n/2 (a + Un)
⇒ S98 = 98/2 (89 + (-299))
⇒ S98 = 49 (89 - 299)
⇒ S98 = 49 (-210)
⇒ S98 = -10290
Cara #2
Dengan menggunakan rumus yang kita turunkan di atas :
| ⇒ Sn = | (Un - a + b)(a + Un) |
| 2b |
| ⇒ Sn = | (-299 - 89 - 4)(89 - 299) |
| 2 (-4) |
⇒ Sn = 82320/-8
⇒ Sn = -10290.
Demikian pembahasan singkat mengenai cara menentukan jumlah n suku pertama (Sn) deret aritmatika jika jumlah atau banyak suku tidak diketahui. Jika bahan belajar ini bermanfaat, bantu kami membagikannya kepada teman anda melalui tombol share di bawah ini.
Edutafsi.com adalah blog tentang bahan belajar. Gunakan menu atau penelusuran untuk menemukan bahan belajar yang ingin dipelajari.