MENENTUKAN RUMUS SUKU KE-N DAN BEDA BARISAN KONSEP TURUNAN

Posted by on 06 October 2017 - 1:15 PM

Edutafsi.com - Penggunaan Konsep Turunan dalam Deret Aritmatika. Pada pembahasan sebelumnya, edutafsi telah memaparkan bahwa persamaan rumus jumlah n suku pertama (Sn) dapat dinyatakan dalam bentuk fungsi kuadrat dalam variabel n. Sebelumnya juga sudah dibahas bahwa rumus suku ke-n dan beda barisan dapat ditentukan berdasarkan rumus jumlah n suku pertamanya. Nah, jika rumus jumlah n suku pertama tersebut dinyatakan dalam bentuk fungsi kuadrat, ternyata kita dapat memanfaatkan konsep turunan untuk menentukan rumus suku ke-n dan beda barisan tersebut. Pada pembahasan ini, edutafsi akan membahas bagaimana cara menentukan rumus suku ke-n dan beda barisan aritmatika dengan konsep turunan jika rumus Sn dintakan sebagai fungsi kuadrat.

Dengan menggunakan konsep turuan (differensial), kita dapat menentukan rumus suku ke-n dan beda barisan aritmatika dengan beberapa langkah mudah dengan catatan, rumus jumlah n suku pertamanya dinyatakan dalam bentuk fungsi kuadrat (Sn = An2 + Bn). Sebelum membahas bagaimana caranya, ada baiknya kita mengingat kembali bagaimana prinsip atau konsep turunan fungsi.

Turunan atau differensial merupakan salah satu proses menurunkan suatu fungsi terhadap variabel tertentu. Misalkan y adalah sebuah fungsi daalam variabel x atau y = f(x), dan y merupakan fungsi yang dapat diturunkan pada setiap titik, maka turunan pertama fungsi y terhadap x umumnya ditulis sebagai dy/dx atau y' atau f '(x).

Turunan pertama dari sebuah fungsi f(x) terhadap x dapat ditulis sebagai :
⇒ f '(x) = dy/dx = df(x)/dx

Misal sebuah fungsi dinyatakan dalam bentuk f(x) = axn + bx, maka turunan pertama dari fungsi tersebut dapat ditulis sebagai berikut :
⇒ f '(x) = df(x)/dx = d(axn + bx)/dx
⇒ f '(x) = n.axn-1 + b

Menentukan beda barisan dan Un berdasarkan konsep turunan

Contoh :
Tentukan turunan pertama dari fungsi berikut ini :
a). f(x) = 4x3 + 5x
b). y = 2x2 - 9x
c). Sn = An2 + Bn

Pembahasan :
a). f '(x) = 3.4 x3-1 + 5 = 12 x2 + 5
b). y' = 2.2 x2-1 - 9 = 4x - 9
c). Sn' = 2.An2-1 + B = 2 An + B.

A. Menentukan Un Jika Sn dinyatakan Dalam Fungsi Kuadrat

Jika rumus jumlah n suku pertama (Sn) dinyatakan dalam bentuk fungsi kuadrat dalam variabel n, maka rumus suku ke-n barisan tersebut merupakan turunan pertama Sn dikurang dengan setengah kali turunan kedua Sn.

Rumus Sn dapat dinyatakan dalam bentuk fungsi kuadrat sebagai berikut :
⇒ Sn = F(n) = An2 + Bn

Turunan pertama dari fungsi tersebut adalah :
⇒ Sn' = 2 An + B

Turunan kedua dari fungsi tersebut adalah :
⇒ Sn'' = 2A

Maka, rumus suku ke-n deret tersebut adalah :
⇒ Un = Sn' - ½Sn''
⇒ Un = 2 An + B - ½(2A)
⇒ Un = 2 An + (B - A)

Jadi, ada dua rumus yang dapat digunakan, yaitu :
Un = Sn' − ½Sn''
Un = 2 An + (B - A)

Dengan Un menyatakan rumus suku ke-n barisan aritmatika, n menyatakan banyak suku (sebagai variabel), A dan B merupakan bilangan tertentu yang dapat dilihat melalui persamaan dalam soal. Untuk memahami pemakaian rumus tersebut, perhatikan contoh berikut ini.

Contoh : 
Jika jumlah n suku pertama suatu deret aritmatika dinyatakan oleh Sn = 5n2 + 2n, maka tentukanlah rumus suku ke-n deret tersebut.

Pembahasan :
Dik : Sn = 5n2 + 2n
Dit : Un = ... ?

Cara Pertama :
⇒ Un = Sn' - ½Sn''
⇒ Un = (10n + 2) - ½(10)
⇒ Un = 10n + 2 - 5
⇒ Un = 10n - 3

Cara Kedua :
Dari fungsi Sn = 5n2 + 2n, diketahui A = 5, B = 2 (Perhatikan bentuk Sn = An2 + Bn).
⇒ Un = 2 An + (B - A)
⇒ Un = 2.5n + (2 - 5)
⇒ Un = 10n - 3

Jadi, rumus suku ke-n barisan aritmatika tersebut adalah Un = 10n - 3. Bandingkan hasil pada cara pertama dan cara kedua.

B. Menentukan Beda Barisan Dengan Konsep Turunan

Jika rumus jumlah n suku pertama (Sn) suatu deret aritmatika dinyatakan dalam bentuk fungsi kuadrat dalam variabel n, maka beda barisan atau beda deret aritmatika tersebut akan sama dengan turunan kedua Sn.

Rumus Sn dapat dinyatakan dalam bentuk fungsi kuadrat sebagai berikut :
⇒ Sn = F(n) = An2 + Bn

Turunan pertama dari fungsi tersebut adalah :
⇒ Sn' = 2 An + B

Turunan kedua dari fungsi tersebut adalah :
⇒ Sn'' = 2A

Maka, beda barisan dapat ditentukan dengan rumus :
⇒ b = Sn''
⇒ b = 2 A

Jadi, ada dua rumus yang dapat digunakan, yaitu :
b = Sn''
b = 2 A

Dengan b menyatakan beda barisan aritmatika, Sn'' menyatakan turunan kedua dari Sn, dan A merupakan bilangan tertentu yang dapat dilihat melalui persamaan dalam soal. Untuk memahami pemakaian rumus tersebut, perhatikan contoh berikut ini.

Contoh :
Jika jumlah n suku pertama suatu deret aritmatika dinyatakan oleh Sn = 3n2 + 5n, maka tentukanlah beda barisan tersebut.

Pembahasan :
Dik : Sn = 3n2 + 5n
Dit : b = ... ?

Cara Pertama :
Turunan pertama Sn :
⇒ Sn' = 6n + 5

Turunan kedua Sn :
⇒ Sn'' = 6

Beda barisan tersebut adalah :
⇒ b = Sn''
⇒ b = 6

Cara Kedua :
Dari fungsi Sn = 3n2 + 5n, diketahui A = 3 dan B = 5
⇒ b = 2A
⇒ b = 2(3)
⇒ b = 6

Jadi, beda barisan tersebut adalah 6. Bandingkan hasil yang diperoleh melalui cara pertama dan cara kedua. Anda dapat memilih salah satu cara yang paling anda anggap mudah sesuai dengan pemahaman anda.

Demikianlah pembahasan singkat mengenai cara menentukan suku ke-n dan beda deret aritmatika jika rumus Sn dinyatakan dalam bentuk fungsi kuadrat dengan menggunakan konsep turunan. Jika bahan belajar ini bermanfaat, bantu kami membagikannya kepada teman anda melalui tombol share di bawah ini.


Edutafsi.com adalah blog bahan belajar sekolah yang ditujukan untuk membantu murid belajar. Dukung edutafsi untuk terus berkembang dengan like laman facebook edutafsi dan follow IG Tafsi Junior. Terimakasih telah berkunjung ke blog ini. Semoga bermanfaat.

Advertisements