Edutafsi.com - Rumus Suku ke-n Barisan Geometri. Setiap barisan termasuk barisan geometri memiliki pola khusus yang membedakannya dengan barisan lain. Biasanya, pola tersebu menunjukkan bagaimana hubungan antar dua suku berdekatan dalam barisan tersebut dan secara umum memperlihatkan hubungan antara suku ke-n dengan suku lainnya. Pada umumnya, suku ke-n seringkali dikaitkan dengan suku pertama suatu barisan dan nilai suku pertama akan mempengaruhi nilai suku ke-n sesuai dengan pola barisan tersebut. Lalu bagaimana hubungan antara suku ke-n dengan suku pertama dalam barisan geometri? Pada kesemapatan ini, edutafsi akan memaparkan hubungan antara suku ke-n dengan suku pertama dalam barisan geometri dan cara menentukan rumus suku ke-n untuk suatu barisan geometri
Jika dilihat berdasarkan nilai dari masing-masing suku dalam suatu barisan geometri, maka terdapat suatu pola dimana suku ke-n barisan tersebut merupakan hasil kali suku sebelumnya dengan sebuah bilangan yang disebut rasio. Rasio ini merupakan perbandingan antara dua suku yang berdekatan dan nilainya selalu sama dalam satu barisan geometri.
Salah satu metode yang paling umum digunakan untuk menurunkan rumus umum suku ke-n barisan geometri adalah dengan melihat pola hubungan dari suku-sukunya. Misalkan sebuah barisan geometri terdiri dari beberapa suku, yaitu U1, U2, U3, U4, U5, dan Un. Dari hubungan suku-suku kita dapat menemukan sebuah pola khusus.
Berikut pola yang dapat kita lihat pada barisan geometri :
⇒ U1 = a
⇒ U2 = a . r
⇒ U3 = U2 . r = a . r2
⇒ U4 = U3 . r = a . r2 . r = a . r3
⇒ U5 = U4 . r = a . r3 . r = a . r4
Dari kelima persamaan di atas, maka dapat dilihat sebuah pola khusus. Perhatikan nomor suku (n) dan nomor pangkat pada rasionya. Berdasarkan pola tersebut, maka rumus suku ke-n barisan geometri secara umum dinyatakan sebagai berikut :
Keterangan :
Un = suku ke-n barisan geometri
a = suku pertama barisan geometri
r = rasio pada barisan geometri
n = nomor atau banyak suku (1, 2, 3, ...)
Pada dasarnya, menentukan rumus suku ke-n (secara spesifik) untuk suatu barisan geometri merupakan kajian dasar dalam pembahasan barisan geometri karena untuk menemukannya tidak terlalu sulit hanya menggunakan metode substitusi yang sederhana.
Dari proses substitusi tersebut nantinya akan diperoleh sebuah persamaan atau fungsi Un berbentuk perkalian antara suku pertama dengan bilangan pangkat yang berpangkat n. Secara sederhana berikut langkah menyusun rumus Un untuk barisan geometri :
1). Tuliskan suku-suku dan keteranga yang diketahui dalam soal
2). Tentukan suku pertama (a) dan rasio (r) barisan geometri
3). Substitusi nilai a dan r ke rumus umum Un barisan geometri.
Contoh 1 :
Diberikan barisan geometri sebagai berikut : 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128. Tentukanlah rumus untuk suku-suku dari barisan geometri tersebut!
Pembahasan :
Dik : a = 2, r = 4/2 = 8/4 = 32/16 = 2
Dit : Un = .... ?
Substitusi nilai a dan r ke rumus umum Un maka diperoleh :
⇒ Un = a . rn-1
⇒ Un = 2 . 2n-1
⇒ Un = 21 . 2n-1
⇒ Un = 21 + (n - 1)
⇒ Un = 21 + n - 1
⇒ Un = 21 - 1 + n
⇒ Un = 2n
Jadi, rumus suku ke-n untuk barisan geometri tersebut adalah Un = 2n.
Contoh di atas termasuk contoh soal yang mudah karena nilai a dan r dapat ditentukan dengan mudah sehingga tinggal disubstitusikan saja nilainya ke rumus umum. Tapi bagaimana jika dalam soal tidak diketahui suku pertama atau pun rasionya?
Contoh 2 :
Diketahui suku ketiga dan suku keenam suatu barisan geometri adalah 12 dan 96. Tentukanlah rumus suku ke-n untuk setiap suku dalam barisan tersebut!
Pembahasan :
Dik : U3 = 12, U6 = 96
Dit : Un = ....?
Untuk menjawab soal seperti ini, maka kita harus mencari atau menentukan nilai a dan r terlebih dahulu. Caranya dengan menyatakan suku-suku yang diketahui dalam bentuk rumus umumnya sebagai berikut.
Dari suku ketiga, diperoleh persamaan :
⇒ U3 = 12
⇒ a . r3-1 = 12
⇒ a r2 = 12 .... (1)
Dari suku keenam, diperoleh persamaan :
⇒ U6 = 96
⇒ a . r6-1 = 96
⇒ a . r5 = 96
⇒ a . r2 + 3 = 96
⇒ a . r2 . r3 = 96
⇒ a r2 . r3 = 96 ... (2)
Substitusi persamaan (1) ke persamaan (2) :
⇒ a r2 . r3 = 96
⇒ 12 . r3 = 96
⇒ r3 = 96/12
⇒ r3 = 8
⇒ r3 = 23
⇒ r = 2
Kita sudah dapat nilai r, selanjutnya kita tentukan nilai a dengan cara mensubstitusikan nilai r pada salah satu persamaan. Pada contoh ini disubstitusikan ke persamaan (1) :
⇒ a r2 = 12
⇒ a 22 = 12
⇒ 4 a = 12
⇒ a = 12/4
⇒ a = 3
Selanjutnya substitusikan nilai a = 3 dan r = 2 ke rumus umum Un :
⇒ Un = a . rn-1
⇒ Un = 3 . 2n-1
Jadi, rumus suku ke-n barisan geometri tersebut adalah Un = 3 . 2n-1.
Demikianlah pembahasan singkat mengenai cara menentukan rumus suku ke-n suatu barisan aritmatika. Jika pembahasan ini bermanfaat, bantu kami membagikannya kepada teman-teman anda melalui tombol share yang tersedia di bawah ini.
A. Rumus Umum Suku ke-n Barisan Geometri
Sebelum kita membahas bagaimana cara menentukan rumus suku ke-n dari suatu barisan geometri, tentu akan lebih baik jika kita mempelajari terlebih dahulu rumus umum suku ke-n barisan geometri sebab rumus inilah yang akan dikembangkan atau digunakan untuk menentukan rumus suku ke-n suatu barisan aritmatika secara khusus.Jika dilihat berdasarkan nilai dari masing-masing suku dalam suatu barisan geometri, maka terdapat suatu pola dimana suku ke-n barisan tersebut merupakan hasil kali suku sebelumnya dengan sebuah bilangan yang disebut rasio. Rasio ini merupakan perbandingan antara dua suku yang berdekatan dan nilainya selalu sama dalam satu barisan geometri.
Salah satu metode yang paling umum digunakan untuk menurunkan rumus umum suku ke-n barisan geometri adalah dengan melihat pola hubungan dari suku-sukunya. Misalkan sebuah barisan geometri terdiri dari beberapa suku, yaitu U1, U2, U3, U4, U5, dan Un. Dari hubungan suku-suku kita dapat menemukan sebuah pola khusus.
Berikut pola yang dapat kita lihat pada barisan geometri :
⇒ U1 = a
⇒ U2 = a . r
⇒ U3 = U2 . r = a . r2
⇒ U4 = U3 . r = a . r2 . r = a . r3
⇒ U5 = U4 . r = a . r3 . r = a . r4
Dari kelima persamaan di atas, maka dapat dilihat sebuah pola khusus. Perhatikan nomor suku (n) dan nomor pangkat pada rasionya. Berdasarkan pola tersebut, maka rumus suku ke-n barisan geometri secara umum dinyatakan sebagai berikut :
| Un = a . rn - 1 |
Keterangan :
Un = suku ke-n barisan geometri
a = suku pertama barisan geometri
r = rasio pada barisan geometri
n = nomor atau banyak suku (1, 2, 3, ...)
B. Menentukan Rumus Suku ke-n Barisan Geometri
Pada pembahasan di atas, telah dijelaskan rumus umum suku ke-n barisan geometri. Rumus umum tersebut berlaku untuk semua barisan geometri. Lalu bagaimana jika yang diminta adalah rumus suku ke-n untuk suatu barisan aritmatika secara spesifik. Artinya, rumus tersebut hanya berlaku untuk barisan geometri itu saja dan tidak berlaku untuk lainnya.Pada dasarnya, menentukan rumus suku ke-n (secara spesifik) untuk suatu barisan geometri merupakan kajian dasar dalam pembahasan barisan geometri karena untuk menemukannya tidak terlalu sulit hanya menggunakan metode substitusi yang sederhana.
Dari proses substitusi tersebut nantinya akan diperoleh sebuah persamaan atau fungsi Un berbentuk perkalian antara suku pertama dengan bilangan pangkat yang berpangkat n. Secara sederhana berikut langkah menyusun rumus Un untuk barisan geometri :
1). Tuliskan suku-suku dan keteranga yang diketahui dalam soal
2). Tentukan suku pertama (a) dan rasio (r) barisan geometri
3). Substitusi nilai a dan r ke rumus umum Un barisan geometri.
Contoh 1 :
Diberikan barisan geometri sebagai berikut : 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128. Tentukanlah rumus untuk suku-suku dari barisan geometri tersebut!
Pembahasan :
Dik : a = 2, r = 4/2 = 8/4 = 32/16 = 2
Dit : Un = .... ?
Substitusi nilai a dan r ke rumus umum Un maka diperoleh :
⇒ Un = a . rn-1
⇒ Un = 2 . 2n-1
⇒ Un = 21 . 2n-1
⇒ Un = 21 + (n - 1)
⇒ Un = 21 + n - 1
⇒ Un = 21 - 1 + n
⇒ Un = 2n
Jadi, rumus suku ke-n untuk barisan geometri tersebut adalah Un = 2n.
Contoh di atas termasuk contoh soal yang mudah karena nilai a dan r dapat ditentukan dengan mudah sehingga tinggal disubstitusikan saja nilainya ke rumus umum. Tapi bagaimana jika dalam soal tidak diketahui suku pertama atau pun rasionya?
Contoh 2 :
Diketahui suku ketiga dan suku keenam suatu barisan geometri adalah 12 dan 96. Tentukanlah rumus suku ke-n untuk setiap suku dalam barisan tersebut!
Pembahasan :
Dik : U3 = 12, U6 = 96
Dit : Un = ....?
Untuk menjawab soal seperti ini, maka kita harus mencari atau menentukan nilai a dan r terlebih dahulu. Caranya dengan menyatakan suku-suku yang diketahui dalam bentuk rumus umumnya sebagai berikut.
Dari suku ketiga, diperoleh persamaan :
⇒ U3 = 12
⇒ a . r3-1 = 12
⇒ a r2 = 12 .... (1)
Dari suku keenam, diperoleh persamaan :
⇒ U6 = 96
⇒ a . r6-1 = 96
⇒ a . r5 = 96
⇒ a . r2 + 3 = 96
⇒ a . r2 . r3 = 96
⇒ a r2 . r3 = 96 ... (2)
Substitusi persamaan (1) ke persamaan (2) :
⇒ a r2 . r3 = 96
⇒ 12 . r3 = 96
⇒ r3 = 96/12
⇒ r3 = 8
⇒ r3 = 23
⇒ r = 2
Kita sudah dapat nilai r, selanjutnya kita tentukan nilai a dengan cara mensubstitusikan nilai r pada salah satu persamaan. Pada contoh ini disubstitusikan ke persamaan (1) :
⇒ a r2 = 12
⇒ a 22 = 12
⇒ 4 a = 12
⇒ a = 12/4
⇒ a = 3
Selanjutnya substitusikan nilai a = 3 dan r = 2 ke rumus umum Un :
⇒ Un = a . rn-1
⇒ Un = 3 . 2n-1
Jadi, rumus suku ke-n barisan geometri tersebut adalah Un = 3 . 2n-1.
Demikianlah pembahasan singkat mengenai cara menentukan rumus suku ke-n suatu barisan aritmatika. Jika pembahasan ini bermanfaat, bantu kami membagikannya kepada teman-teman anda melalui tombol share yang tersedia di bawah ini.
Edutafsi.com adalah blog tentang bahan belajar. Gunakan menu atau penelusuran untuk menemukan bahan belajar yang ingin dipelajari.