HUBUNGAN TIGA SUKU BERURUTAN DALAM BARISAN GEOMETRI

Edutafsi.com - Konsep Tiga Suku Berurutan. Suku ke-n dalam suatu barisan artimatika dapat dinyatakan berdasarkan suku sebelum atau suku sesudahnya. Misalnya, suku kedua dapat ditentukan berdasarkan nilai suku pertama atau berdasarkan nilai suku ketiga dengan catatan rasio barisannya diketahui. Jika suku pertama dan rasio diketahui, maka suku kedua dapat dinyatakan sebagai hasil kali suku pertama dengan rasio. Sedangkan jika suku ketiga dan rasio yang diketahui, maka suku kedua dapat dinyatakan sebagai hasil bagi suku ketiga oleh rasio barisan. Hubungan khusus ini dapat dimanfaatkan untuk menyelesaikan beberapa model soal tentang barisan geometri misalnya menentukan suku ke-n jika tiga suku berurutan diketahui, menentukan tiga bilangan dalam barisan geometri jika jumlah dan hasil kali ketiga bilangan itu diketahui, dan sebagainya. Pada kesempatan ini, edutafsi akan membahas dua kondisi terkait hubungan tiga suku berurutan dilengkapi dengan contoh dan pembahasan.

A. Rasio Barisan Geometri

Karena kondisi khusus dari tiga suku berurutan dalam barisan geometri ditinjau berdasarkan hubungan suku ke-n dengan rasio barisan, maka ada baiknya kita membahas kembali konsep dari rasio barisan geometri. Pembahasan mengenai rasio geometri juga anda baca pada artikel sebelumnya yang dapat anda temukan di menu matematika.

Secara sederhana, rasio barisan dapat diartikan sebagai perbandingan antara dua suku yang berdekatan, tepat perbandingan antara suku ke-n dengan suku sebelumnya. Jika sebuah barisan geometri terdiri dari tiga suku, maka rasio barisan tersebut dapat dihitung berdasarkan perbandingan antara suku ketiga dengan suku kedua atau perbandingan antara suku kedua dengan suku pertama.

Ciri khas barisan geometri adalah memiliki rasio yang sama atau tetap. Artinya, perbandingan setiap dua suku yang berdekatan di dalam barisan tersebut selalu sama, yaitu sebesar r. Jika nilai r berubah-ubah, maka barisan tersebut bukanlah barisan geometri. Secara matematis, rasio barisan geometri dapat dinyatakan dengan persamaan berikut :

r = Un Un-1

Keterangan :
r = rasio barisan geometri
Un = suku ke-n barisan geometri
U_n-1 = suku sebelum suku ke-n barisan geometri
n = nomor atau jumlah suku (1, 2, 3, ...).

B. Perbandingan Dua Suku Berdekatan

Karena rasio pada barisan geometri selalu sama, maka perbandingan setiap dua suku yang berdekatan akan menghasilkan nilai yang sama sebesar r. Misal sebuah barisan geometri terdiri dari tiga suku yaitu U_a, U_b, dan U_c, maka rasio barisan tersebut dapat dihitung dengan rumus berikut.

Berdasarkan nilai suku kedua dan pertama :
⇒ r = U_b/U_a

Berdasarkan nilai suku ketiga dan kedua :
⇒ r = U_c/U_b

Karena rasio barisan geometri selalu sama, maka berlaku :

⇒	Ub	=	Uc
	Ua		Ub

Jika dikali silang, maka bentuk persamaan di atas dapat diubah menjadi :
⇒ U_b² = U_a . U_c

Dengan demikian, untuk tiga suku berurutan pada barisan geometri, suku tengah dari tiga suku tersebut dapat dihitung dengan rumus berikut :

Ub2 = Ua . Uc

Keterangan :
Ub = suku tengah pada dari tiga suku yang berurutan
Ua = suku awal dari tiga suku yang berurutan
Uc = suku ketiga dari tiga suku yang berurutan.

Contoh :
Jika suku pertama, kedua, dan ketiga suatu barisan geometri berturut-turut adalah m, 3m, dan 8m + 4, maka tentukanlah suku kelima barisan tersebut.

Pembahasan :
Dik : U₁ = m, U₂ = 3m, U₃ = 8m + 4
Dit : U₅ = .... ?

Untuk menghitung suku kelima, maka kita harus menentukan terlebih dahulu suku pertama dan rasio barisan geometri tersebut. Rasio barisan tersebut adalah :
⇒ r = U₂/U₁
⇒ r = 3m/m
⇒ r = 3

Untuk mengetahui nilai m (suku pertama), maka dapat digunakan rumus di atas:
⇒ U₂² = U₁ . U₃
⇒ (3m)² = m (8m + 4)
⇒ 9m² = 8m² + 4m
⇒ 9m² - 8m² = 4m
⇒ m² = 4m
⇒ m²/m = 4
⇒ m = 4

Karena m = 4, maka suku pertama barisan tersebut :
⇒ U₁ = m
⇒ U₁ = 4
 
Karena a =  U₁ = 4 dan r = 3, maka suku kelimanya adalah :
⇒ U₅ = a . r^5-1
⇒ U₅ = a . r⁴
⇒ U₅ = 4 . 3⁴
⇒ U₅ = 4 . 81
⇒ U₅ = 324

Jadi, suku kelima barisan geometri tersebut adalah 324.

C. Bentuk Khusus Tiga Suku Berurutan

Selain bentuk pada poin B di atas, tiga suku berurutan dalam barisan geometri juga dapat kita susun ke dalam bentuk yang berbeda. Misal sebuah barisan geometri terdiri dari tiga suku U_a, U_b, dan U_c. Jika suku tengah (yaitu suku kedua) diubah menjadi k, maka berdasarkan hubungan dua suku berdekatan, suku pertama dan suku ketiga dpata diubah menjadi seperti di bawah ini.

Jika U_b = k dan rasio = r, maka suku pertama dapat diubah menjadi :
⇒ U_a = U_b/r
⇒ U_a = k/r

Sedangkan suku ketiga dapat diubah menjadi :
⇒ U_c = U_b . r
⇒ U_c = kr

Dengan demikian, ketiga suku berurutan (U_a, U_b, dan U_c) dapat ditulis menjadi bentuk lain, yaitu ^k/_r, k, kr. Jika ketiga suku tersebut dikalikan, maka akan diperoleh :
⇒ U_a . U_b . U_c = k/r . k . kr
⇒ U_a . U_b . U_c = k³

Karena Ub dimisalkan k, maka untuk tiga suku berurutan dalam barisan geometri, berlaku persamaan:

Ua . Ub . Uc = Ub3

Keterangan :
U_b = suku tengah dalam tiga suku berurutan
U_a = suku awal dari tiga suku berurutan
U_c = suku akhir dati tiga suku berurutan.

Contoh :
Jika jumlah tiga bilangan dalam suatu barisan geometri adalah 14 dan hasil kali ketiganya adalah 64, maka tentukanlah ketiga bilangan tersebut.

Pembahasan :
Dik : U_a . U_b . U_c = 64, dan U_a + U_b + U_c = 14
Dik : U_a, U_b, U_c = ... ?

Hasil kali ketiga bilangan :
⇒ U_a . U_b . U_c = 64
⇒ U_b³ = 64
⇒ U_b³ = 4³
⇒ U_b = 4

Jumlah ketiga bilangan :
⇒ U_a + U_b + U_c = 14
⇒ U_b/r + U_b + U_b.r = 14
⇒ 4/r + 4 + 4r = 14
⇒ 4/r + 4r + 4 - 14 = 0
⇒ 4/r + 4r - 10 = 0

Jika kedua ruas dikali dengan r, maka persamaanya menjadi :
⇒ 4 + 4r² - 10r = 0
⇒ 4r² - 10r + 4 = 0
⇒ 2r² - 5r + 2 = 0
⇒ ½ (2r - 4)(2r - 1) = 0
⇒ r = 2 atau r = ½

Untuk r = 2, maka ketiga bilangannya adalah :
⇒ U_a, U_b, U_c = 4/2, 4, 4(2)
⇒ U_a, U_b, U_c = 2, 4, 8

Untuk r = ½, maka ketiga bilangannya adalah :
⇒ U_a, U_b, U_c = 4/½, 4, 4(½)
⇒ U_a, U_b, U_c = 8, 4, 2

Jadi, ketiga bilangan yang berurutan tersebut adalah 2, 4, 8 atau 8, 4, 2.

Berdasarkan pembahasan di atas, berikut edutafsi rangkum dua rumus atau persamaan yang berlaku untuk tiga suku berurutan dalam barisan geometri. Misal tiga suku berurutan adalah U_a, U_b, dan U_c, maka berlaku persamaan seperti pada gambar di bawah ini.

Demikianlah pembahasan singkat mengenai hubungan khusus tiga suku berurutan dalam barisan geometri. Jika bahan belajar ini bermanfaat, bantu kami membagikannya kepada teman-teman anda melalui tombol share di bawah ini.

Share ke Facebook >>

Edutafsi.com adalah blog tentang bahan belajar. Gunakan menu atau penelusuran untuk menemukan bahan belajar yang ingin dipelajari.