Edutafsi.com - Rumus Praktis tentang Fungsi Komposisi. Komposisi fungsi merupakan kombinasi antara dua fungsi atau lebih. Kombinasi ini umumnya menghasilkan fungsi lain yang disebut sebagai fungsi komposisi. Fungsi komposisi juga dapat dinyatakan sebagai fungsi lain tergantung pemisalan yang digunakan. Misalnya dua bauh fungsi f(x) dan g(x) dikombinasikan, maka komposisi fungsinya dapat ditulis sebagai (f o g)(x) sedangkan fungsi komposisinya dapat ditulis dengan h(x). Dalam hal ini berlaku h(x) = (f o g)(x) = f(g(x)). Pada komposisi fungsi, urutan fungsi yang diombinaskan sangat berpengaruh sebab nilai (f o g)(x) tidak sama dengan (g o f)(x). Pada kesemapatan ini, edutafsi akan membahas beberapa rumus praktis yang dapat digunakan untuk menyelesaian beberapa model soal tentang komposisi fungsi.
Salah satu model soal yang sering muncul dan cukup sulit dikerjakan mengenai fungsi komposisi adalah menentukan salah satu fungsi jika fungsi komposisi dan fungsi lainnya diketahui. Misalnya pada soal diketahui komposisi fungsi (f o g)(x) dan f(x), maka murid diminta menentukan fungsi g(x) atau sebaliknya, pada soal diketahui komposisi fungsi (f o g)(x) dan g(x), murid diminta menentukan fungsi f(x).
Secara umum, untuk menentukan salah satu fungsi jika fungsi komposisi dan fungsi lainnya diketahui dapat digunakan konsep komposisi fungsi, yaitu dengan cara menguraikan operasi komposisi dua fungsi sehingga dihasilkan sebuah variabel berupa fungsi yang tidak diketahui lalu persamaan yang terbentuk ditentukan bentuk sederhanannya.
Jika diberikan sebuah fungsi bebentuk linear misalnya f(x) = ax + b dan diketahui komposisi fungsi (f o g)(x) = px + q, maka fungsi g(x) dapat ditentukan dengan menggunakan rumus g(x) = (px + q - b)/a. Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh di bawah ini.
Fungsi f(x) diketahui:
Komposisi fungsi diketahui:
Fungsi g(x) adalah :
Contoh :
Jika diketahui f(x) = 3x + 4 dan (f o g)(x) = 6x - 2, maka tentukan fungsi g(x)!
Pembahasan :
Dik : a = 3, b = 4, p = 6, q = -2
Dit : g(x) = .... ?
Menggunakan cara biasa :
⇒ (f o g)(x) = 6x - 2
⇒ f(g(x)) = 6x - 2
Ganti x pada f(x) dengan g(x) :
⇒ 3(g(x)) + 4 = 6x - 2
⇒ 3 g(x) + 4 = 6x - 2
⇒ 3 g(x) = 6x - 2 - 4
⇒ 3 g(x) = 6x - 6
⇒ g(x) = (6x - 6)/3
⇒ g(x) = 2x - 2
Menggunakan cara praktis :
⇒ g(x) = (px + q - b)/a
⇒ g(x) = {6x + (-2) - 4}/3
⇒ g(x) = (6x - 6)/3
⇒ g(x) = 2x - 2
Jadi, fungsi g(x) yang dimemenuhi adalah g(x) = 2x - 2. Sebenarnya menggunakan cara biasa juga sudah cukup sederhana hanya saja terkadang murid merasa kesulitan untuk menentukan proses komposisinya sehingga rumus praktis di atas bisa dijadikan alternatif dan memang lebih menghemat waktu pengerjaan.
Jika sebuah fungsi berbentuk lienar, misalnya f(x) = ax + b dan komposisi fungsi itu dengan g(x) dinyatakan sebagai (f o g)(x) = px2 + qx + r, maka fungsi g(x) dapat ditentukan dengan rumus g(x) = (px2 + qx + r - b)/a. Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh soal di bawah ini.
Fungsi f(x) diketahui:
Komposisi fungsi diketahui:
Fungsi g(x) adalah :
Contoh :
Jika diketahui komposisi fungsi (f o g)(x) = 2x2 - x + 3 dan f(x) = 4x - 1, maka tentukanlah fungsi g(x) yang memenuhi komposisi tersebut.
Pembahasan :
Dik : a = 4, b = -1, p = 2, q = -1, r = 3
Dit : g(x) = .... ?
Menggunakan cara biasa :
⇒ (f o g)(x) = 2x2 - x + 3
⇒ f(g(x)) = 2x2 - x + 3
Substitusi x pada f(x) menjadi g(x):
⇒ 4(g(x)) - 1 = 2x2 - x + 3
⇒ 4 g(x) - 1 = 2x2 - x + 3
⇒ 4 g(x) = 2x2 - x + 3 + 1
⇒ 4 g(x) = 2x2 - x + 4
⇒ g(x) = ¼ (2x2 - x + 4)
⇒ g(x) = ½x2 - ¼x + 1
Menggunakan rumus praktis :
⇒ g(x) = (px2 + qx + r - b)/a
⇒ g(x) = (2x2 + (-1)x + 3 - (-1))/4
⇒ g(x) = (2x2 - x + 4)/4
⇒ g(x) = ½x2 - ¼x + 1
Jadi, fungsi g(x) yang memenuhi komposisi tersebut adalah g(x) = ½x2 - ¼x + 1. Perlu diingat bahwa rumus praktis ini hanya berlaku untuk model soal seperti contoh ini jadi tidak berlaku untuk model sebaliknya (Untuk soal menentukan fungsi f(x) adakan dibahas pada poin C di bawah). Cara ini cukup mudah tapi kelemahannya harus kuat menghapal rumus.
Jika pada soal diketahui sebuah fungsi berbentuk linear, yaitu g(x) dan komposisi fungsi (f o g)x = hx, maka fungsi f(x) dapat ditentukan dengan rumus f(x) = h(g-1(x)).
Fungsi g(x) diketahui:
Komposisi fungsi diketahui:
Fungsi f(x) adalah :
Contoh :
Jika diketahui fungsi g(x) = x + 6 dan komposisi fungsi (f o g)(x) = 4 - 2x, maka tentukanlah fungsi f(x) yang memenuhi komposisi tersebut.
Pembahasan :
Dik : a = 1, b = 6, p = -2, q = 4
Dit : g(x) = .... ?
Menggunakan cara biasa :
⇒ (f o g)(x) = 4 - 2x
⇒ f(g(x)) = 4 - 2x
⇒ f(x + 6) = 4 - 2x
Jika dimisalkan x + 6 = y, maka x = y - 6, dan diperoleh :
⇒ f(y) = 4 - 2(y - 6)
⇒ f(y) = 4 - 2y + 12
⇒ f(y) = 16 - 2y
Kembalikan y menjadi x, maka diperoleh :
⇒ f(x) = 16 - 2x
Menggunakan cara praktis :
⇒ f(x) = p{(x - b)/a} + q
⇒ f(x) = -2{(x - 6)/1} + 4
⇒ f(x) = -2x + 12 + 4
⇒ f(x) = 16 - 2x
Jadi, fungsi f(x) yang memenuhi komposisi tersebut adalah f(x) = 16 - 2x.
Demikianlah pembahasan singkat mengenai rumus praktis untuk materi komposisi fungsi atau fungsi komposisi disertai dengan contoh dan pembahasan. Jika kumpulan rumus ini bermanfaat, bantu kami membagikannya kepada teman-teman anda melalui tombol share di bawah ini. Terimakasih.
A. Fungsi Komposisi Berbentuk Linear
Rumus praktis yang pertama dapat digunakan untuk fungsi komposisi yang berbentuk linear, yaitu fungsi yang mengandung variabel tertentu dengan pangkat tertinggi satu misalnya h(x) = px + q. Fungsi komposisi yang berbentuk linear biasanya terbentuk dari kombinasi antara dua fungsi yang juga berbentuk linear yang salah satunya dinyatakan dengan ax + b.Salah satu model soal yang sering muncul dan cukup sulit dikerjakan mengenai fungsi komposisi adalah menentukan salah satu fungsi jika fungsi komposisi dan fungsi lainnya diketahui. Misalnya pada soal diketahui komposisi fungsi (f o g)(x) dan f(x), maka murid diminta menentukan fungsi g(x) atau sebaliknya, pada soal diketahui komposisi fungsi (f o g)(x) dan g(x), murid diminta menentukan fungsi f(x).
Secara umum, untuk menentukan salah satu fungsi jika fungsi komposisi dan fungsi lainnya diketahui dapat digunakan konsep komposisi fungsi, yaitu dengan cara menguraikan operasi komposisi dua fungsi sehingga dihasilkan sebuah variabel berupa fungsi yang tidak diketahui lalu persamaan yang terbentuk ditentukan bentuk sederhanannya.
Jika diberikan sebuah fungsi bebentuk linear misalnya f(x) = ax + b dan diketahui komposisi fungsi (f o g)(x) = px + q, maka fungsi g(x) dapat ditentukan dengan menggunakan rumus g(x) = (px + q - b)/a. Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh di bawah ini.
Fungsi f(x) diketahui:
| f(x) = ax + b |
Komposisi fungsi diketahui:
| (f o g)(x) = px + q |
Fungsi g(x) adalah :
|
Contoh :
Jika diketahui f(x) = 3x + 4 dan (f o g)(x) = 6x - 2, maka tentukan fungsi g(x)!
Pembahasan :
Dik : a = 3, b = 4, p = 6, q = -2
Dit : g(x) = .... ?
Menggunakan cara biasa :
⇒ (f o g)(x) = 6x - 2
⇒ f(g(x)) = 6x - 2
Ganti x pada f(x) dengan g(x) :
⇒ 3(g(x)) + 4 = 6x - 2
⇒ 3 g(x) + 4 = 6x - 2
⇒ 3 g(x) = 6x - 2 - 4
⇒ 3 g(x) = 6x - 6
⇒ g(x) = (6x - 6)/3
⇒ g(x) = 2x - 2
Menggunakan cara praktis :
⇒ g(x) = (px + q - b)/a
⇒ g(x) = {6x + (-2) - 4}/3
⇒ g(x) = (6x - 6)/3
⇒ g(x) = 2x - 2
Jadi, fungsi g(x) yang dimemenuhi adalah g(x) = 2x - 2. Sebenarnya menggunakan cara biasa juga sudah cukup sederhana hanya saja terkadang murid merasa kesulitan untuk menentukan proses komposisinya sehingga rumus praktis di atas bisa dijadikan alternatif dan memang lebih menghemat waktu pengerjaan.
B. Fungsi Komposisi Berbentuk Kuadrat
Rumus praktis berikutnya adalah rumus untuk komposisi fungsi yang berbentuk fungsi kuadrat, yaitu fungsi yang derajat tertinggi variabelnya adalah dua. Fungsi komposisi berbentuk kuadrat biasanya dibentuk oleh kombinasi antara fungsi linear dan fungsi kuadrat. Model soalnya masih sama yaitu menentukan salah satu fungsi jika komposisi dan fungsi lainnya diketahui.Jika sebuah fungsi berbentuk lienar, misalnya f(x) = ax + b dan komposisi fungsi itu dengan g(x) dinyatakan sebagai (f o g)(x) = px2 + qx + r, maka fungsi g(x) dapat ditentukan dengan rumus g(x) = (px2 + qx + r - b)/a. Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh soal di bawah ini.
Fungsi f(x) diketahui:
| f(x) = ax + b |
Komposisi fungsi diketahui:
| (f o g)(x) = px2 + qx + r |
Fungsi g(x) adalah :
|
Contoh :
Jika diketahui komposisi fungsi (f o g)(x) = 2x2 - x + 3 dan f(x) = 4x - 1, maka tentukanlah fungsi g(x) yang memenuhi komposisi tersebut.
Pembahasan :
Dik : a = 4, b = -1, p = 2, q = -1, r = 3
Dit : g(x) = .... ?
Menggunakan cara biasa :
⇒ (f o g)(x) = 2x2 - x + 3
⇒ f(g(x)) = 2x2 - x + 3
Substitusi x pada f(x) menjadi g(x):
⇒ 4(g(x)) - 1 = 2x2 - x + 3
⇒ 4 g(x) - 1 = 2x2 - x + 3
⇒ 4 g(x) = 2x2 - x + 3 + 1
⇒ 4 g(x) = 2x2 - x + 4
⇒ g(x) = ¼ (2x2 - x + 4)
⇒ g(x) = ½x2 - ¼x + 1
Menggunakan rumus praktis :
⇒ g(x) = (px2 + qx + r - b)/a
⇒ g(x) = (2x2 + (-1)x + 3 - (-1))/4
⇒ g(x) = (2x2 - x + 4)/4
⇒ g(x) = ½x2 - ¼x + 1
Jadi, fungsi g(x) yang memenuhi komposisi tersebut adalah g(x) = ½x2 - ¼x + 1. Perlu diingat bahwa rumus praktis ini hanya berlaku untuk model soal seperti contoh ini jadi tidak berlaku untuk model sebaliknya (Untuk soal menentukan fungsi f(x) adakan dibahas pada poin C di bawah). Cara ini cukup mudah tapi kelemahannya harus kuat menghapal rumus.
C. Fungsi Komposisi dan Invers Fungsi
Rumus praktis berikutnya adalah rumus yang berlaku untuk model soal yang melibatkan invers fungsi. Model soal yang dimaksud adalah menentukan fungsi f(x) jika komposisi fungsi (f o g)(x) dan g(x) diketahui. Pada poin A dan B di atas model soalnya adalah menentukan fungsi g(x), lalu bagaimana cara menentukan fungsi f(x) jika yang diketahui g(x) dan (f o g)(x)?Jika pada soal diketahui sebuah fungsi berbentuk linear, yaitu g(x) dan komposisi fungsi (f o g)x = hx, maka fungsi f(x) dapat ditentukan dengan rumus f(x) = h(g-1(x)).
Fungsi g(x) diketahui:
| g(x) = ax + b |
Komposisi fungsi diketahui:
| (f o g)(x) = px + q |
Fungsi f(x) adalah :
| f(x) = p{(x - b)/a} + q |
Contoh :
Jika diketahui fungsi g(x) = x + 6 dan komposisi fungsi (f o g)(x) = 4 - 2x, maka tentukanlah fungsi f(x) yang memenuhi komposisi tersebut.
Pembahasan :
Dik : a = 1, b = 6, p = -2, q = 4
Dit : g(x) = .... ?
Menggunakan cara biasa :
⇒ (f o g)(x) = 4 - 2x
⇒ f(g(x)) = 4 - 2x
⇒ f(x + 6) = 4 - 2x
Jika dimisalkan x + 6 = y, maka x = y - 6, dan diperoleh :
⇒ f(y) = 4 - 2(y - 6)
⇒ f(y) = 4 - 2y + 12
⇒ f(y) = 16 - 2y
Kembalikan y menjadi x, maka diperoleh :
⇒ f(x) = 16 - 2x
Menggunakan cara praktis :
⇒ f(x) = p{(x - b)/a} + q
⇒ f(x) = -2{(x - 6)/1} + 4
⇒ f(x) = -2x + 12 + 4
⇒ f(x) = 16 - 2x
Jadi, fungsi f(x) yang memenuhi komposisi tersebut adalah f(x) = 16 - 2x.
Demikianlah pembahasan singkat mengenai rumus praktis untuk materi komposisi fungsi atau fungsi komposisi disertai dengan contoh dan pembahasan. Jika kumpulan rumus ini bermanfaat, bantu kami membagikannya kepada teman-teman anda melalui tombol share di bawah ini. Terimakasih.
Edutafsi.com adalah blog tentang bahan belajar. Gunakan menu atau penelusuran untuk menemukan bahan belajar yang ingin dipelajari.