Edutafsi.com - Integral Tentu. Integral atau anti diferensial merupakan bentuk operasi balikan dari diferensial atau turunan. Jika f(x) adalah turunan dari fungsi F(x), maka integral dari f(x) adalah F(x). Pada pembahasan sebelumnya, edutafsi telah menjelaskan konsep dasar mengenai integral tak tentu yang hasilnya hanya berupa penyelesaian umum dimana fungsi F(x) mengandung suatu tetapan yang disebut tetapan integrasi. Selain integral tak tentu, pada pembahasan integral juga dikenal istilah integral tentu (definite integral). Berbeda dengan integral tak tentu yang hasilnya berupa penyelesaian umum, integral tentu memiliki hasil yang pasti sebab variabel integrasinya sudah memiliki batas. Pada kesempatan ini, edutafsi akan membahas pengertian dan aturan dasar integral tentu.
Jika integral sebuah fungsi ditulis sebagai ∫ f(x) dx, maka dx menyatakan variabel integrasinya. Hal itu menunjukkan bahwa fungsi integran merupakan fungsi dalam variabel x. Variabel integrasi tidak harus menggunakan huruf x, variabel dapat menggunakan huruf lainnya misalnya ∫ f(y) dy atau ∫ f(t) dt. Pada penulisan tersebut yang perlu diperhatikan, variabel integrasi biasanya disesuaikan dengan variabel fungsi integrannya.
Jika integran merupakan fungsi dalam variabel x, maka variabel integrasinya digunakan dx. Sebaliknya, jika integran merupakan fungs dalam variabel t, maka variabel integrasinya adalah dt. Variabel integrasi menunjukkan bahwa fungsi integran akan ditarik integralnya terhadap variabel tersebut. Jika variabelnya x, maka integrasi dilakukan terhadap variabel x.
Dalam metode integrasi, variabel tersebut bisa saja diberi batas atau tanpa batas. Nah, berdasarkan ada tidaknya batasan untuk variabel integrasi, maka integral dibedakan menjadi dua jenis, yaitu integral tak tentu dan integral tentu. Integral tak tentu merupakan integral yang tidak memiliki batas untuk variabel integrasinya. Sedangkan integral tentu memiliki batas untuk variabel.
Integral tentu (definite integral) adalah bentuk integral yang variabel integrasinya memiliki batasan. Batasan tersebut biasanya disebut sebagai batas atas dan batas bawah. Batas variabel integrasi umumnya ditulis di bagian atas dan bawah notasi integral. Secara umum, notasi integral tentu dari suatu fungsi dapat ditulis seperti di atas.
Karena variabel integrasinya memiliki batas, maka hasil integral tentu merupakan suatu bilangan yang pasti dan bukan merupakan penyelesaian umum seperti halnya integral tak tentu. Lalu bagaiamana cara menentukan hasil integral tentu? Untuk menjawab pertanyaan tersebut, simak ulasan di bawah ini.
Jika dikaitkan dengan kurva dari suatu fungsi, maka integral tentu dapat dipandang sebagai luas daerah bi bidang datar, tepatnya luas daerah di bawah kurva y = f(x). Berdasarkan prinsip tersebut, maka integral tentu dapat diselesaikan dengan menggunakan aturan dasar berikut ini:
Keterangan :
b = batas atas variabel integrasi
a = batas bawah variabel integrasi
f(x) = fungsi yang akan diintegralkan
dx = variabel integrasi
F(b) = nilai integral pada batas atas
F(a) = nilai integral pada batas bawah.
Berdasarkan rumus di atas dapat dilihat bahwa hasil integral tentu dari suatu fungsi yang memiliki batas atas b dan batas bawah a, adalah selisih antara nilai integral pada batas atas dengan nilai integral pada batas bawah. Bentuk di atas juga dapat diubah menggunakan notasi kurung siku sebagai berikut:
Pada rumus di atas terdapat fungsi F(x) yang menyatakan hasil dari integral f(x). Untuk memperoleh F(x), prinsipnya sama dengan konsep integral tak tentu namun pada integral tentu, hanya saja tidak menggunakan tetapan integrasi (c). Untuk lebih jelasnya perhatikan aturan dasar integral berikut ini:
Berdasarkan rumus dasar tersebut, fungsi F(x) atau hasil integral dari f(x) dapat ditentukan dengan cara menambahkan pangkat variabel dari fungsi f(x) dengan 1 dan membagi koefisien variabel atau pernyataan yang dihasilkan dengan pangkat baru tersebut. Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh berikut ini.
Contoh :
Diberikan fungsi f(x) = x2. Tentukanlah integral dari f(x) untuk batas atas 3 dan batas bawah 2.
Pembahasan :
Dik : f(x) = x2, a = 2, b = 3
Dit : 2∫3 x2 dx = ... ?
Lankah pertama, kita tentukan F(x):
⇒ F(x) = ∫ x2 dx
⇒ F(x) = 1/(2+1) . x2+1
⇒ F(x) = 1/3 . x3
⇒ F(x) = 1/3 x3
Nilai F(x) untuk batas atas, substitusi x = 3:
⇒ F(3) = 1/3 (3)3
⇒ F(3) = 1/3 . 27
⇒ F(3) = 9
Nilai F(x) untuk batas bawah, substitusi x = 2:
⇒ F(2) = 1/3 (2)3
⇒ F(2) = 1/3 . 8
⇒ F(2) = 8/3
Berdasarkan rumus integral tentu :
⇒ a∫b f(x) dx = [F(x)]ab
⇒ a∫b f(x) dx = F(b) - F(a)
⇒ 2∫3 x2 dx = F(3) - F(2)
⇒ 2∫3 x2 dx = 9 - 8/3
⇒ 2∫3 x2 dx = (27 - 8)/3
⇒ 2∫3 x2 dx = 19/3
Jadi, hasil dari 2∫3 x2 dx adalah 19/3.
Jika batas atas dan batas bawah dalam suatu integral tentu adalah sama, maka hasil integral tentu dari fungsi tersebut akan sama dengan nol sebab tidak ada daerah antara batas-batas tersebut. Sehingga secara matematis, untuk sebarang fungsi yang batas atas dan batas bawahnya sama, berlaku:
#2 Perubahan Posisi Batas
Jika batas atas dan batas bawah dalam integral tentu diubah posisinya (batas atas menjadi batas bawah dan batas bawah menjadi batas atas) untuk fungsi integran yang sama, maka akan diperoleh hasil yang sama namun berbeda tanda.
#3 Perkalian dengan Konstanta
Jika f(x) adalah fungsi integran dan k merupakan tetapan atau konstanta sebarang, maka integral dari perkalian f(x) dengan konstanta memenuhi sifat berikut ini:
#4 Penjumlahan dan Selisih Dua Fungsi
Misal diberikan dua buah fungsi yaitu f(x) dan g(x), maka integral tentu dari penjumlahan atau pengurangan kedua fungsi tersebut dapat diselesaikan berdasarkan sifat berikut ini:
Demikianlah pembahasan singkat mengenai pengertian, aturan, rumus dasar, dan sifat-sifat untuk integral tentu. Jika bahan belajar ini bermanfaat, bantu kami membagikannya kepada teman-teman anda melalui tombol share di bawah ini. Terimakasih.
A. Pengertian Integral Tentu
Sebelum membahas pengertian integral tentu, maka ada baiknya untuk mengetahui terlebih dahulu beberapa istilah di dalam integral secara umum. Dalam notasi integral secara umum, terdapat beberapa notasi yang memiliki arti tertentu sesuai fungsinya. Notasi tersebut antara lain notasi integral (∫), notasi variabel integrasi (dx), dan fungsi integran, yaitu fungsi yang akan ditarik integralnya.Jika integral sebuah fungsi ditulis sebagai ∫ f(x) dx, maka dx menyatakan variabel integrasinya. Hal itu menunjukkan bahwa fungsi integran merupakan fungsi dalam variabel x. Variabel integrasi tidak harus menggunakan huruf x, variabel dapat menggunakan huruf lainnya misalnya ∫ f(y) dy atau ∫ f(t) dt. Pada penulisan tersebut yang perlu diperhatikan, variabel integrasi biasanya disesuaikan dengan variabel fungsi integrannya.
Jika integran merupakan fungsi dalam variabel x, maka variabel integrasinya digunakan dx. Sebaliknya, jika integran merupakan fungs dalam variabel t, maka variabel integrasinya adalah dt. Variabel integrasi menunjukkan bahwa fungsi integran akan ditarik integralnya terhadap variabel tersebut. Jika variabelnya x, maka integrasi dilakukan terhadap variabel x.
Dalam metode integrasi, variabel tersebut bisa saja diberi batas atau tanpa batas. Nah, berdasarkan ada tidaknya batasan untuk variabel integrasi, maka integral dibedakan menjadi dua jenis, yaitu integral tak tentu dan integral tentu. Integral tak tentu merupakan integral yang tidak memiliki batas untuk variabel integrasinya. Sedangkan integral tentu memiliki batas untuk variabel.
|
Integral tentu (definite integral) adalah bentuk integral yang variabel integrasinya memiliki batasan. Batasan tersebut biasanya disebut sebagai batas atas dan batas bawah. Batas variabel integrasi umumnya ditulis di bagian atas dan bawah notasi integral. Secara umum, notasi integral tentu dari suatu fungsi dapat ditulis seperti di atas.
Karena variabel integrasinya memiliki batas, maka hasil integral tentu merupakan suatu bilangan yang pasti dan bukan merupakan penyelesaian umum seperti halnya integral tak tentu. Lalu bagaiamana cara menentukan hasil integral tentu? Untuk menjawab pertanyaan tersebut, simak ulasan di bawah ini.
C. Aturan Dasar Integral Tentu
Pada notasi integral tentu terdapat batas atas dan batas bawah untuk variabel integrasinya. Sesuai dengan namanya, batasan tersebut berfungsi untuk membatasi nilai variabel dari fungsi yang akan diintegrasikan. Prinsipnya adalah dengan mensubstitusikan batas atas dan batas bawah pada hasil integrasinya sehingga diperoleh suatu bilangan sebagai hasil integrasi.Jika dikaitkan dengan kurva dari suatu fungsi, maka integral tentu dapat dipandang sebagai luas daerah bi bidang datar, tepatnya luas daerah di bawah kurva y = f(x). Berdasarkan prinsip tersebut, maka integral tentu dapat diselesaikan dengan menggunakan aturan dasar berikut ini:
|
Keterangan :
b = batas atas variabel integrasi
a = batas bawah variabel integrasi
f(x) = fungsi yang akan diintegralkan
dx = variabel integrasi
F(b) = nilai integral pada batas atas
F(a) = nilai integral pada batas bawah.
Berdasarkan rumus di atas dapat dilihat bahwa hasil integral tentu dari suatu fungsi yang memiliki batas atas b dan batas bawah a, adalah selisih antara nilai integral pada batas atas dengan nilai integral pada batas bawah. Bentuk di atas juga dapat diubah menggunakan notasi kurung siku sebagai berikut:
|
Pada rumus di atas terdapat fungsi F(x) yang menyatakan hasil dari integral f(x). Untuk memperoleh F(x), prinsipnya sama dengan konsep integral tak tentu namun pada integral tentu, hanya saja tidak menggunakan tetapan integrasi (c). Untuk lebih jelasnya perhatikan aturan dasar integral berikut ini:
|
Berdasarkan rumus dasar tersebut, fungsi F(x) atau hasil integral dari f(x) dapat ditentukan dengan cara menambahkan pangkat variabel dari fungsi f(x) dengan 1 dan membagi koefisien variabel atau pernyataan yang dihasilkan dengan pangkat baru tersebut. Untuk lebih jelasnya perhatikan contoh berikut ini.
Contoh :
Diberikan fungsi f(x) = x2. Tentukanlah integral dari f(x) untuk batas atas 3 dan batas bawah 2.
Pembahasan :
Dik : f(x) = x2, a = 2, b = 3
Dit : 2∫3 x2 dx = ... ?
Lankah pertama, kita tentukan F(x):
⇒ F(x) = ∫ x2 dx
⇒ F(x) = 1/(2+1) . x2+1
⇒ F(x) = 1/3 . x3
⇒ F(x) = 1/3 x3
Nilai F(x) untuk batas atas, substitusi x = 3:
⇒ F(3) = 1/3 (3)3
⇒ F(3) = 1/3 . 27
⇒ F(3) = 9
Nilai F(x) untuk batas bawah, substitusi x = 2:
⇒ F(2) = 1/3 (2)3
⇒ F(2) = 1/3 . 8
⇒ F(2) = 8/3
Berdasarkan rumus integral tentu :
⇒ a∫b f(x) dx = [F(x)]ab
⇒ a∫b f(x) dx = F(b) - F(a)
⇒ 2∫3 x2 dx = F(3) - F(2)
⇒ 2∫3 x2 dx = 9 - 8/3
⇒ 2∫3 x2 dx = (27 - 8)/3
⇒ 2∫3 x2 dx = 19/3
Jadi, hasil dari 2∫3 x2 dx adalah 19/3.
C. Sifat-sifat Integral Tentu
#1 Batas Atas dan Batas Bawah SamaJika batas atas dan batas bawah dalam suatu integral tentu adalah sama, maka hasil integral tentu dari fungsi tersebut akan sama dengan nol sebab tidak ada daerah antara batas-batas tersebut. Sehingga secara matematis, untuk sebarang fungsi yang batas atas dan batas bawahnya sama, berlaku:
| a∫a f(x) dx = = 0 |
#2 Perubahan Posisi Batas
Jika batas atas dan batas bawah dalam integral tentu diubah posisinya (batas atas menjadi batas bawah dan batas bawah menjadi batas atas) untuk fungsi integran yang sama, maka akan diperoleh hasil yang sama namun berbeda tanda.
| a∫b f(x) dx = − b∫a f(x) dx |
#3 Perkalian dengan Konstanta
Jika f(x) adalah fungsi integran dan k merupakan tetapan atau konstanta sebarang, maka integral dari perkalian f(x) dengan konstanta memenuhi sifat berikut ini:
| a∫b k . f(x) dx = k a∫b f(x) dx |
#4 Penjumlahan dan Selisih Dua Fungsi
Misal diberikan dua buah fungsi yaitu f(x) dan g(x), maka integral tentu dari penjumlahan atau pengurangan kedua fungsi tersebut dapat diselesaikan berdasarkan sifat berikut ini:
| a∫b {f(x) ± g(x)}dx = a∫b f(x) dx ± a∫b g(x) dx |
Demikianlah pembahasan singkat mengenai pengertian, aturan, rumus dasar, dan sifat-sifat untuk integral tentu. Jika bahan belajar ini bermanfaat, bantu kami membagikannya kepada teman-teman anda melalui tombol share di bawah ini. Terimakasih.
Edutafsi.com adalah blog tentang bahan belajar. Gunakan menu atau penelusuran untuk menemukan bahan belajar yang ingin dipelajari.