PEMBAHASAN SOAL UJIAN NASIONAL LOGARITMA

Posted by on 15 November 2014 - 6:11 PM

Model soal logaritma yang sering muncul dalam ujian nasional matematika :
  1. Menentukan hasil suatu logaritma berdasarkan nilai logaritma yang diketahui.
  2. Menentukan nilai koefisien yang memenuhi persamaan logaritma.
  3. Soal aplikasi menentukan akar persamaan kuadrat yang melibatkan logaritma.
  4. Soal aplikasi menentukan himpunan penyelesaian pertidaksamaan logaritma

Kumpulan soal
  1. (UAN 2005/2006)
    Nilai x yang memenuhi persamaan 2log 2log (2x+1 + 3) = 1 + 2log x adalah ...
    A. 2log 3
    B. 3log 2
    C. log 2/3
    D. -1 atau 3
    E. 3 atau 1/2

    Pembahasan :
    Ingat kembali sifat logaritma :
    alog b = alog c ---> maka b = c

    2log 2log (2x+1 + 3) = 1 + 2log x
    2log 2log (2x+1 + 3) = 2log2 + 2log x
    2log 2log (2x+1 + 3) = 2log 2x
    2log (2x+1 + 3) = 2x
    2log (2x+1 + 3) = 2log 22x
    ⇒ 2x+1 + 3 = 22x
    ⇒ 2x+1 + 3 - 22x = 0
    ⇒ 2x.21 + 3 - 22x = 0 ---> ubah menjadi persamaan kuadrat
    ⇒ (2x)2 - 2(2x) - 3 = 0

    misal 2x = a, maka persamaan menjadi :
    ⇒ a2 - 2a - 3 = 0
    ⇒ (a + 1)(a - 3) = 0
    ⇒ a = -1 atau a = 3

    Selanjutnya,
    untuk a = -1
    ⇒ 2x = -1 ---> tidak ada nilai x yang memenuhi

    untuk a = 3
    ⇒ 2x = 3
    ⇒ x = 2log 3 (opsi A)


  2. (UAN 2005/2006)
    Penyelesaian pertidaksamaan log (x - 4) + log (x + 8) < log (2x + 16) adalah ...
    A. x > 6
    B. x > 8
    C. 4 < x < 6
    D. -8 < x < 6
    E. 6 < x < 8

    Pembahasan :
    Ingat kembali sifat logaritma :
    alog b + alog c = alog bc

    alog b - alog c = alog b/c

    Dengan menggunakan rumus tersebut :
    ⇒ log (x - 4) + log (x + 8) < log (2x + 16)
    ⇒ log (x - 4)(x + 8) < log (2x + 16)
    ⇒ log (x - 4)(x + 8) - log (2x + 16) < 0
    ⇒ log {(x - 4)(x + 8)} / (2x + 16) < 0
    ⇒ log {(x - 4)(x + 8)} / 2(x + 8) < 0
    ⇒ log (x - 4) / 2 < 0

    Syarat :
    ⇒ agar log (x - 4) / 2 < 0 maka x > 4
    ⇒ log (x - 4) / 2 < 0
    log (x - 4) / 2 < log 1
    ⇒ (x - 4) / 2 < 1
    ⇒ x - 4 < 2
    ⇒ x < 6
    Jadi penyelesaiannya adalah 4 < x < 6 (opsi C)


  3. (UAN 2006/2007)
    Jika 2log 3 = a dan 3log 5 = b, maka 15log 20 = ...
    A. 2/a
    B. (2 + ab)/ a(1 + b)
    C. a/2
    D. (b + 1)/ (2ab + 1)
    E. (a + b)/ (2 + ab)

    Pembahasan :
    Ingat kembali sifat logaritma :
    alog b = xlog b / xlog a  ; dengan x> 0 dan x ≠ 1

    alog bx = x alog b

    Karena yang diketahui adalah nilai 2log 3 dan 3log 5 maka ubahlah 15log20 ke dalam bentuk logaritma yang mengandung kedua logaritma tersebut.

    15log 20 = 3log 20 / 3log 15
    15log 20 = 3log (4.5) / 3log (3.5)
    15log 20 = 3log (22.5) / 3log (3.5)
    15log 20 = (3log 22 + 3log 5) / (3log 3 + 3log 5)
    15log 20 = (2 3log 2 + 3log 5) / (3log 3 + 3log 5)

    Ingat kembali sifat logaritma :
    alog b = 1/ (blog a)

    Karena 3log 2 = 1/ (2log 3) = 1/a, maka :
    15log 20 = {2.(1/a) + b}/ (1 + b)
    15log 20 = {(2 + ab)/ a}/ (1 + b)
    15log 20 = (2 + ab)/ a(1 + b) ---> opsi B


  4. (UAN 2007/2008)
    Dikatahui 2log 7 = a dan 2log 3 = b, maka nilai dari 6log 14 adalah ...
    A. a/ (a + b)
    B. (1 + a)/ (1 + b)
    C. (a + 1)/ (a + b)
    D. a/ a(a + b)
    E. (a + 1)/ a(a + b)

    Pembahasan :
    6log 14 = (2log 14)/ (2log 6)
    6log 14 = (2log 7.2)/ (2log 3.2)
    6log 14 = (2log 7 + 2log 2)/ (2log 3 + 2log 2)
    6log 14 = (2log 7 + 1)/ (2log 3 + 1)
    6log 14 = (a + 1)/ (b + 1)
    6log 14 = (1 + a)/ (1 + b) ---> opsi C


  5. (UAN 2008/2009)
    Diketahui 2log √(12x + 4) = 3. Nilai 3x adalah ...
    A. 15
    B. 5
    C. 5/3
    D. 3/5
    E. 1/5

    Pembahasan :
    2log √12x + 4 = 3
    2log12x + 4 = 2log 23
    ⇒ √12x + 4 = 23
    ⇒ (√12x + 4)2 = (23)2
    ⇒ 12x + 4 = 26
    ⇒ 12x + 4 = 64
    ⇒ 12x = 60
    ⇒ x = 5
    Jadi nilai 3x = 3.5 = 15 (opsi A)

  6. (UAN 2009/2010)
    Nilai dari (3log √6) / {(3log 18) - (3log 2)} adalah ...
    A. 1/8
    B. 1/2
    C. 1
    D. 2
    E. 8

    Pembahasan :
    (3log √6) / {(3log 18)2 - (3log 2)2} = (3log 6 ½) / {(3log 9.2)2 - (3log 2)2}
      = (½ 3log 6) / {(3log 9 + 3log 2)2 - (3log 2)2}
      = (½ 3log 3.2) / {(3log 32 + 3log 2)2 - (3log 2)2}
      = {½ (3log 3 + 3log 2)} / {(2 3log 3 + 3log 2)2 - (3log 2)2}
      = {½ (1 + 3log 2)} / {(2 + 3log 2)2 - (3log 2)2}
      = {½ (1 + 3log 2)} / {(4 + 4 3log 2 + 3log 22 ) - (3log 2)2}
      = {½ (1 + 3log 2)} / {(4 + 4 3log 2 + 3log 22 - 3log 22}
      = {½ (1 + 3log 2)} / (4 + 4 3log 2)
      = {½ (1 + 3log 2)} / {4 (1 +  3log 2)}
      =  ½ / 4
      = 1/8 ---> opsi A.


  7. (UAN 2010/2011)
    Nilai x yang memenuhi persamaan ½log (x2 - 3) - ½log x = -1 adalah ...
    A. x = -1 atau x = 3
    B. x = 1 atau x = -3
    C. x = 1 atau x = 3
    D. x = 1
    E. x = 3

    Pembahasan :
    ½log (x2 - 3) - ½log x = -1
    ½log {(x2 - 3)/ x} = ½log (½)-1
    ⇒ (x2 - 3)/ x = (½)-1
    ⇒ (x2 - 3)/ x = 2
    ⇒ x2 - 3 = 2x
    ⇒ x2 - 3 - 2x = 0
    ⇒ x2 - 2x - 3 = 0
    ⇒ (x + 1)(x - 3) = 0
    ⇒ x = -1 atau x = 3

    Sekarang ingat kembali prinsip logaritma :
    an = b ⇔ n = alog b  ; b > 0

    Karena b harus lebih besar dari nol, maka x = -1 tidak berlaku karena akan menyebabkan b bernilai negatif. Jadi nilai x yang memenuhi persamaan itu adalah 3 ---> opsi E.


  8. (UAN 2011/2012)
    Diketahui 5log 3 = a dan 3log 4 = b. Nilai 4log 15 adalah ...
    A. (1 + a)/ ab
    B. (1 + a)/ (1 + b)
    C. (1 + b)/ (1 - a)
    D. ab/ (1 - a)
    E. ab/ (1 - b)

    Pembahasan :
    4log 15 = (3log 15)/ 3log 4
    4log 15 = (3log 3.5)/ 3log 4
    4log 15 = (3log 3 + 3log 5)/ 3log 4

    Sekarang ingat kembali prinsip logaritma :
     alog b  = 1/ blog a

    Karena 3log 5 = 1/ 5log 3 = 1/a, maka diperoleh :
    4log 15 = (3log 3 + 3log 5)/ 3log 4
    4log 15 = (1 + 1/a)/ b
    4log 15 = {(a + 1)/ a}/ b
    4log 15 = (a + 1)/ ab
    4log 15 = (1 + a)/ ab ---> opsi A.


  9. (UAN 2012/2013)
    Diketahui 2log 5 = p dan 5log 3 = b. Nilai 3log 10 dinyatakan dalam p dan q adalah ...
    A. (p + 1)/ q
    B. (p + 1)/ pq
    C. (q + 1)/ p
    D. (q + 1)/ pq
    E. (pq + 1)/ q

    Pembahasan :
    3log 10 = (5log 10)/ 5log 3
    3log 10 = (5log 2.5)/ 5log 3
    3log 10 = (5log 2 + 5log 5)/ 5log 3

    Karena  5log 2 = 1/ 2log 5 = 1/p, maka diperoleh :
    3log 10 = (5log 2 + 5log 5)/ 5log 3
    3log 10 = (1/p + 1)/ q
    3log 10 = {(1 + p)/ p}/ q
    3log 10 = (1 + p)/ pq
    3log 10 = (p + 1)/ pq --->  opsi B.



Edutafsi.com adalah blog tentang bahan belajar. Gunakan menu atau penelusuran untuk menemukan bahan belajar yang ingin dipelajari.

Advertisements

0 comments :

Post a Comment