SOAL DAN PEMBAHASAN IDENTITAS TRIGONOMETRI LANJUTAN

Pada artikel sebelumnya telah dibahas identitas trigonometri dasar yang harus dipahami. Setelah menguasai identitas dasar trigonometri, maka tahap selanjutnya adalah identitas trigonometri lanjutan yang dikembangkan dari identitas dasar.

Seperti yang kita ketahui bahwa nilai dari perbandingan trigonometri suatu sudut saling terkait dengan sudut lainnya oleh karena itu suatu bentuk persamaan identitas trigonometri dapat diubah menjadi bentuk yang lebih sederhana atau diubah menjadi bentuk perbandingan trigonometri lainnya.

Pada dasarnya jika pemahaman kita tentang identitas dasar telah kuat, maka soal-soal lanjutan yang tingkat kesulitannya lebih tinggi dapat kita selesaikan dengan mudah. Pada awalnya memang bentuk-bentuk persamaan trigonometri yang diberikan pada soal terkesan rumit dan membuat pusing, tapi percayalah bahwa dengan banyak berlatih dan terus berlatih, semua persoalan akan dapat diselesaikan. Berikut beberapa contoh soal lanjutan tentang identitas trigonometri.

Soal dan Jawaban Identitas Trigonometri

1. Sederhanakan bentuk trigonometri  (1 + cot² β) / (cot β . sec² β).
   
   Pembahasan
   Dari pecahan (1 + cot² β) / (cot β . sec² β), sederhanakan masing-masing penyebut dan pembilangnya.
   1 + cot² β = cosec² β
   ⇒ 1 + cot² β = 1/sin² β
   
   cot β . sec² β = (cos β/ sinβ) . sec² β
   ⇒ cot β . sec² β = (cos β/ sin β).(1/cos² β)
   ⇒ cot β . sec² β = cos β / sin β.cos² β
   
   Setelah digabung kembali diperoleh :
   (1 + cot² β) / (cot β . sec² β) = (1/sin² β) / (cos β / sinβ.cos² β)
   ⇒ (1 + cot² β) / (cot β . sec² β) = (1/sin² β) . (sin β.cos² β / cos β)
   ⇒ (1 + cot² β) / (cot β . sec² β) = sin β.cos² β / sin² β.cos β
   ⇒ (1 + cot² β) / (cot β . sec² β) = cos β / sin β
   ⇒ (1 + cot² β) / (cot β . sec² β) = cot β 
   Jadi, (1 + cot² β) / (cot β . sec² β) = cot β.
   
   
   
   
2. Tentukan nilai dari (sin α - cos α)² + 2 sin α cos α.
   
   Pembahasan
   Karena keterbatasan ruang dan pengkodean, jadi soal di atas dikerjakan masing-masing agar tidak terlalu panjang.
   (sin α - cos α)² = sin² α - 2 sin α. cos α +  cos² α
   ⇒ (sin α - cos α)² = sin² α +  cos² α - 2 sin α. cos α
   ⇒ (sin α - cos α)² = 1 - 2 sin α. cos α
   
   
   Selanjutnya :
   (sin α - cos α)² + 2 sin α cos α = 1 - 2 sin α. cos α + 2 sin α cos α
   ⇒ (sin α - cos α)² + 2 sin α cos α = 1
   Jadi, (sin α - cos α)² + 2 sin α cos α = 1.
   
   
   
3. Buktikan bahwa sec⁴ α - sec² α = tan⁴ α + tan² α.
   
   Pembahasan
   sec⁴ α - sec² α = tan⁴ α + tan² α
   ⇒ sec² α (sec² α - 1) = tan² α (tan² α + 1)
   ⇒ sec² α (tan² α) = tan² α (sec² α)
   ⇒ sec² α . tan² α = sec² α . tan² α
   Jadi, sec⁴ α - sec² α = tan⁴ α + tan² α = sec² α . tan² α.
   Terbukti.




4. Nyatakan setiap bentuk berikut ke dalam faktor-faktor yang paling sederhana.
   a. 1 - cos² β
   b. sin² α -  cos² α
   c. tan² α - 1
   d. sin² α - 2 sin α cos α + cos² α
   
   Pembahasan
   

   1. 1 - cos² β
      
      Dari identitas sin² β +  cos² β = 1, maka diperoleh :
      ⇒ 1 - cos² β = sin² β
      Jadi, 1 - cos² β = sin² β.
      
      
   2. sin² α -  cos² α
      
      Dari identitas sin² α +  cos² α = 1, maka sin² α  = 1 - cos² α.
      ⇒ sin² α -  cos² α = 1 - cos² α - cos² α
      ⇒ sin² α -  cos² α = 1 - 2 cos² α
      Karena 2 cos² α - 1 = cos 2α, maka 1 - 2 cos² α = - cos 2α.
      ⇒ sin² α -  cos² α = -cos 2α
      Jadi, sin² α -  cos² α = -cos 2α.
      
      
   3. tan² α - 1
      Dari identitas 1 + tan² α = sec² α, maka tan² α = sec² α - 1
      ⇒ tan² α - 1 = sec² α - 1 - 1
      ⇒ tan² α - 1 = sec² α - 2
   
   
   4. sin² α - 2 sin α cos α + cos² α = sin² α + cos² α - 2 sin α cos α
      ⇒ sin² α - 2 sin α cos α + cos² α = 1 - 2 sin α cos α
      ⇒ sin² α - 2 sin α cos α + cos² α = 1 - sin 2α
      Jadi,  sin² α - 2 sin α cos α + cos² α = 1 - sin 2α .
   
   
   
5. Buktikan tiap identitas trigonometri berikut.
   a. 1/3 sin² α + 1/3 cos² α = 1/3
   b. 3 cos² α - 2 = 1 - 3 sin² α
   c. 3 + 5 sin² α = 8 - 5 cos² α
   
   Pembahasan
   1. 1/3 sin² α + 1/3 cos² α = 1/3
      ⇒ 1/3 (sin² α + cos² α) = 1/3
      ⇒ 1/3 (1) = 1/3
      ⇒ 1/3 = 1/3
      Terbukti.
      

      
      
   2. 3 cos² α - 2 = 1 - 3 sin² α
      
      Ingat bahwa sin² α + cos² α = 1, maka 3 sin² α + 3 cos² α = 3.
      Dari 3 sin² α + 3 cos² α = 3, maka 3 cos² α = 3 - 3 sin² α.
      

      ⇒ 3 cos² α - 2 = 1 - 3 sin² α
      ⇒ 3 - 3 sin² α - 2 = 1 - 3 sin² α
      ⇒ 1 - 3 sin² α = 1 - 3 sin² α.
      Terbukti.
      

      
      
   3. 3 + 5 sin² α = 8 - 5 cos² α
      Dari 5 sin² α + 5 cos² α = 5, maka 5 sin² α = 5 - 5 cos² α.
      ⇒ 3 + 5 sin² α = 8 - 5 cos² α
      ⇒ 3 + 5 - 5 cos² α = 8 - 5 cos² α
      ⇒ 8 - 5 cos² α = 8 - 5 cos² α.
      Terbukti.
      

      
      

Share ke Facebook >>

Edutafsi.com adalah blog tentang bahan belajar. Gunakan menu atau penelusuran untuk menemukan bahan belajar yang ingin dipelajari.