Integral parsial ditandai dengan adanya fungsi yang jika diturunkan terus akan bernilai nol sehingga dalam hal ini hanya sebagian fungsi saja yang diintegralkan sedangkan yang lain diturunkan. Integral parsial digunakan ketika integral suatu fungsi tidak dapat
diselesaikan dengan metode anti turunan sesuai definisinya. Integral
parsial umumnya digunakan pada integral hasil kali dua fungsi yang secara
umum berbentuk ∫ f(x).g(x) dx. Integral parsial ditandai dengan
pemisalan salah satu fungsinya f(x) = U dan g(x) dx = dV, sehingga dihasilkan bentuk lain yang
biasanya disimbolkan dengan ∫ U dV. Beberapa buku mungkin menggunakan simbol yang berbeda tetapi prinsipnya tetap sama.
Prinsipnya adalah menurunkan salah satu fungsi yang jika diturunkan terus akan bernilai nol sedangkan fungsi lain diintegralkan. Cara kedua ini dianggap lebih praktis dan lebih mudah dipahami. Untuk lebih jelasnya mari kita lihat beberapa contoh.
Contoh Soal :
- Tentukan hasil dari ∫ (x + 2) sin (x + π) dx.
Pembahasan :
Untuk contoh soal pertama ini kita akan coba bahas dengan dua cara yaitu dengan rumus integral parsial dan dengan tabel. Berikut cara pertama :
Misal U = x + 2, dV = sin (x + π) dx.
∫ U dV = UV − ∫ V dU
Berdasarkan rumus di atas, maka kita harus mencari terlebih dahulu V dan dU :
U = x + 2
dU = dxdU = 1 dx
Untuk mencari V :
dV = sin (x + π) dx
⇒ ∫ dV = sin (x + π) dx
⇒ V = ∫ sin (x + π) dx
⇒ V = -cos (x + π) + c
Kembali ke rumus integral parsial :
∫ U dV = UV − ∫ V dU
⇒ ∫ U dV = UV − ∫ V dU
⇒ ∫ U dV = (x + 2)(-cos (x + π)) − ∫ -cos (x + π) dU
Karena dU = dx, maka :
⇒ ∫ U dV = (x + 2)(-cos (x + π)) − ∫ -cos (x + π) dx
⇒ ∫ U dV = (x + 2)(-cos (x + π)) − (-sin (x + π) + c)
⇒ ∫ U dV = (x + 2)(-cos (x + π)) + sin (x + π) + c
Cara kedua :
Turunkan U Integralkan dV x + 2 (+) sin (x + π) dx 1 (−) -cos (x + π) 0 -sin (x + π)
Selanjutnya jumlahkan hasil kali baris yang diwarnai dengan warna sama dan perhatikan tandanya :
⇒ ∫ U dV = (x + 2)(-cos (x + π)) − (-sin (x + π) + c
⇒ ∫ U dV = -(x + 2)(cos (x + π) + sin (x + π) + c
- Tentukan hasil dari ∫ x2 cos x dx.
Pembahasan :
Turunkan U Integralkan dV x2 (+) cos x dx 2x (−) sin x 2 (+) -cos x 0 -sin x
Selanjutnya jumlahkan hasil kali baris yang diwarnai dengan warna sama dan perhatikan tandanya :
⇒ ∫ U dV = x2 (sin x) − 2x (-cos x) + 2 (-sin x) + c
⇒ ∫ U dV = x2 sin x + 2x cos x − 2 sin x + c
- Tentukan hasil dari ∫ (4x + 2) cos (2x +5) dx.
Pembahasan :
Turunkan U Integralkan dV 4x + 2 (+) cos (2x + 5) dx 4 (−) ½ sin (2x + 5) 0 -¼ cos (2x + 5)
Selanjutnya jumlahkan hasil kali baris yang diwarnai dengan warna sama dan perhatikan tandanya :
⇒ ∫ U dV = (4x + 2)(½ sin (2x + 5)) − 4 (-¼ cos (2x + 5)) + c
⇒ ∫ U dV = (2x + 1).sin (2x + 5) + cos (2x + 5) + c
- Tentukan hasil dari ∫ x (x + 4)5 dx.
Pembahasan :
Turunkan U Integralkan dV x (+) (x + 4)5 dx 1 (−) ⅙ (x + 4)6 0 ⅙.1⁄7 (x + 4)7
Selanjutnya jumlahkan hasil kali baris yang diwarnai dengan warna sama dan perhatikan tandanya :
⇒ ∫ U dV = x(⅙ (x + 4)6) − 1(1⁄42 (x + 4)7) + c
⇒ ∫ U dV = ⅙x (x + 4)6 − {1⁄42 (x + 4)(x + 4)6} + c
⇒ ∫ U dV = ⅙x (x + 4)6 − {1⁄42 x + 2⁄21)(x + 4)6} + c
⇒ ∫ U dV = {⅙x − (1⁄42 x + 2⁄21)}.(x + 4)6 + c
⇒ ∫ U dV = (⅙x − 1⁄42 x − 2⁄21).(x + 4)6 + c
⇒ ∫ U dV = (6⁄42 x − 2⁄21).(x + 4)6 + c
⇒ ∫ U dV = (1⁄7 x − 2⁄21).(x + 4)6 + c
⇒ ∫ U dV = 1⁄21 (3x − 2).(x + 4)6 + c
- Tentukan hasil dari ∫ x3 sin x dx
Pembahasan :
Turunkan U Integralkan dV x3 (+) sin x dx 3x2 (−) -cos x 6x (+) -sin x 6 (−) cos x 0 sin x
Selanjutnya jumlahkan hasil kali baris yang diwarnai dengan warna sama dan perhatikan tandanya :
⇒ ∫ U dV = x3 (-cos x) − 3x2 (-sin x) + 6x (cos x) − 6 (sin x) + c
⇒ ∫ U dV = -x3 cos x + 3x2 sin x + 6x cos x − 6 sin x + c
⇒ ∫ U dV = (3x2 − 6) sin x − (x3 − 6x) cos x + c
Edutafsi.com adalah blog tentang bahan belajar. Gunakan menu atau penelusuran untuk menemukan bahan belajar yang ingin dipelajari.