Bagian 5 - Menyusun persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya n kurangnya dari akar-akar persamaan kuadrat sebelumnya. Pada artikel sebelumnya, telah dibahas empat rumus khusus yang dapat digunakan untuk menyusun persamaan kuadrat baru. Pada bagian kelima (#5) ini, kita akan belajar bagaimana cara menemukan rumus untuk menyusun persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya n kurangnya dari akar-akar persamaan kuadrat yang awal. Dengan kata lain, kita akan menyusun persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya (x1 - n dan x2 - n).
Sebenarnya, persamaan kuadrat baru dapat disusun dengan cara mencari akar-akarnya terlebih dahulu berdasarkan hubungannya dengan persamaan kuadrat awal. Akan tetapi, adakalanya akar-akar persamaan kuadrat sulit untuk diperoleh sehingga menyulitkan kita dalam menyusun persamaannya.
Dengan adanya keterbatasan tersebut, maka kita dapat memanfaatkan rumus jumlah dan hasil kali akar sebagai solusi alternatif yang relatif lebih mudah. Dengan rumus tersebut, semua bentuk persamaan kuadrat dapat kita kerjakan dengan waktu yang lebih singkat.
Selanutnya, dari rumus umum yang telah diperoleh, kita dapat menemukan rumus-rumus khusus untuk bentuk tertentu yang sudah umum keluar dalam soal persamaan kuadrat.
Untu itu, sebelum kita mempelajari rumus khusus menyusun persamaan kuadrat baru lebih jauh, ada baiknya jika kita terlebih dahulu memahami kembali rumus umum untuk menyusun persamaan kuadrat baru.
Dengan memanfaatkan rumus jumlah akar dan hasil kali akar, kita dapat menyusun persamaan kuadrat baru berdasarkan hubungan akar-akarnya dengan persamaan kuadrat yang sudah diketahui.
Dengan kata lain, persamaan kuadrat baru yang akan kita cari sangat bergantung pada persamaan kuadrat awal yang diketahui. Nilai jumlah akar dan hasil kali akar persamaan kuadrat baru akan berkaitan dengan jumlah dan hasil kali akar persamaan kuadrat awal.
Rumus umum menyusun persamaan kuadrat baru adalah :
Biasanya akan ditulis menggunakan simbol tertentu misalnya :
Degan α dan β merupakan akar-akar persamaan kuadrat yang baru.
Baca juga : Cara Menyusun Persamaan Kuadrat Baru Rumus #4.
Berdasarkan langkah di atas, maka hal pertama yang harus kita lakuan adalah mengulik persamaan kuadrat awalnya.
Persamaan Kuadrat Awal :
ax2 + bx + c = 0
Jumlah akar :
Hasil kali akar :
Nilai a, b, dan c akan kita peroleh dari persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0.
Kita sudah menentukan jumlah akar dan hasil kali akar persamaan kuadrat awal, langkah selanjutnya adalah menentukan jumlah akar dan hasil kali akar persamaan kuadrat baru.
Jumlah akar :
⇒ (x1 - n) + (x2 - n) = (x1 + x2) − 2n
⇒ (x1 - n) + (x2 - n) = -b/a − 2n
Hasil kali akar :
⇒ (x1 - n) . (x2 - n) = (x1.x2) − nx1 − nx2 + n2
⇒ (x1 - n) . (x2 - n) = (x1.x2) − n(x1 + x2) + n2
⇒ (x1 - n) . (x2 - n) = c/a − n(-b/a) + n2
⇒ (x1 - n) . (x2 - n) = c/a + n(b/a) + n2
Selanjutnya, kita susun persamaan kuadrat baru sesuai dengan rumus umumnya yaitu :
⇒ x2 − (Jumlah akar)x + hasil kali akar = 0
⇒ x2 − (-b/a − 2n)x + c/a + n(b/a) + n2 = 0
Untuk menghilangan penyebutnya, kita kali persamaannya dengan a :
⇒ ax2 + bx + 2anx + c + bn + an2 = 0
⇒ ax2 + 2anx + an2 + bx + bn + c = 0
⇒ a(x + n)2 + b(x + n) + c = 0
Jadi, rumus khusus untuk menyusun persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya n kurangnya (x1 - n dan x2 - n) adalah :
Nilai a, b dan c kita peroleh dari persamaan kuadrat awal yaitu dari persamaan ax2 + bx + c = 0.
Kunjungi channel youtube kami "Edukiper" untuk melihat video pembahasan rumus khusus lainnya. Ada sembilan (#1 s.d #9) rumus khusus menyusun persamaan kuadrat baru yang umum dan sering keluar dalam soal.
Baca juga : Cara Menyusun Persamaan Kuadrat Baru Rumus #3.
Pembahasan :
Untuk membandingkan hasil yang akan kita peroleh, kita akan coba membahas soal di atas menggunakan rumus umum dan rumus khusus.
Dengan Rumus Umum
Persamaan kuadrat awal : x2 − 3x + 5 = 0
Dik : a = 1, b = -3, dan c = 5
Jumlah akar :
⇒ x1 + x2 = -b/a
⇒ x1 + x2 = -(-3)/1
⇒ x1 + x2 = 3
Hasil kali akar :
⇒ x1 . x2 = c/a
⇒ x1 . x2 = 5/1
⇒ x1 . x2 = 5
Selanjutnya kita tentukan jumlah akar dan hasil kali akar untuk persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya 3 kurangnya dari akar sebelumnya (x1 - 3 dan x2 - 3).
Jumlah akar :
⇒ (x1 - 3) + (x2 - 3) = (x1 + x2) − 6
⇒ (x1 - 3) + (x2 - 3) = 3 − 6
⇒ (x1 - 3) + (x2 - 3) = -3
Hasil kali akar :
⇒ (x1 - 3) . (x2 - 3) = (x1.x2) − 3x1 + 3x2 + 32
⇒ (x1 - 3) . (x2 - 3) = (x1.x2) − 3(x1 + x2) + 9
⇒ (x1 - 3) . (x2 - 3) = 5 − 3(3) + 9
⇒ (x1 - 3) . (x2 - 3) = 5
Dengan demikian, persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya x1 - 2 dan x2 - 2 adalah :
⇒ x2 − (Jumlah akar)x + hasil kali akar = 0
⇒ x2 − (-3)x + 5 = 0
⇒ x2 + 3x + 5 = 0
Dengan Rumus Khusus
Berdasarkan penguraian kita sebelumnya, persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya n kurangnya dari akar sebelumnya dapat ditentukan dengan rumus khusus yaitu :
Dari soal diketahui a = 1, b = -3 ,c = 5 dan n = 3, maka kita peroleh :
⇒ a(x + n)2 + b(x + n) + c = 0
⇒ 1(x + 3)2 + (-3)(x + 3) + 5 = 0
⇒ x2 + 6x + 9 − 3x − 9 + 5 = 0
⇒ x2 + 3x + 5 = 0
Hasil yang diperoleh dengan rumus khusus sama dengan hasil yang diperoleh dengan rumus umum. Terserah anda ingin menggunakan rumus yang mana, yang penting anda harus paham bahwa rumus khusus tidak berlaku untuk semua soal. Selain itu, anda juga harus siap menghafal banyak rumus khusus jika lebih suka cara yang singkat.
Baca juga : Cara Menyusun Persamaan Kuadrat Baru Rumus #2.
Untuk pembahasan contoh soal lainnya, silahkan kunjungi channel youtube kami "Edukiper". Total ada sembilan (#1 s.d #9) pembahasan contoh soal untuk masing-masing bentuk khusus dalam persamaan kuadrat baru.
Rumus Umum Menyusun Persamaan Kuadrat Baru
Rumus umum menyusun persamaan kuadrat baru erat kaitannya dengan rumus jumlah dan hasil kali akar. Itu sebabnya, modal dasar yang harus kita kuasai untuk menyusun persamaan kuadrat baru adalah rumus jumlah dan hasil kali akar persamaan kuadrat.Sebenarnya, persamaan kuadrat baru dapat disusun dengan cara mencari akar-akarnya terlebih dahulu berdasarkan hubungannya dengan persamaan kuadrat awal. Akan tetapi, adakalanya akar-akar persamaan kuadrat sulit untuk diperoleh sehingga menyulitkan kita dalam menyusun persamaannya.
Dengan adanya keterbatasan tersebut, maka kita dapat memanfaatkan rumus jumlah dan hasil kali akar sebagai solusi alternatif yang relatif lebih mudah. Dengan rumus tersebut, semua bentuk persamaan kuadrat dapat kita kerjakan dengan waktu yang lebih singkat.
Selanutnya, dari rumus umum yang telah diperoleh, kita dapat menemukan rumus-rumus khusus untuk bentuk tertentu yang sudah umum keluar dalam soal persamaan kuadrat.
Untu itu, sebelum kita mempelajari rumus khusus menyusun persamaan kuadrat baru lebih jauh, ada baiknya jika kita terlebih dahulu memahami kembali rumus umum untuk menyusun persamaan kuadrat baru.
Dengan memanfaatkan rumus jumlah akar dan hasil kali akar, kita dapat menyusun persamaan kuadrat baru berdasarkan hubungan akar-akarnya dengan persamaan kuadrat yang sudah diketahui.
Dengan kata lain, persamaan kuadrat baru yang akan kita cari sangat bergantung pada persamaan kuadrat awal yang diketahui. Nilai jumlah akar dan hasil kali akar persamaan kuadrat baru akan berkaitan dengan jumlah dan hasil kali akar persamaan kuadrat awal.
Rumus umum menyusun persamaan kuadrat baru adalah :
| x2 − (Jumlah akar)x + hasil kali akar = 0 |
Biasanya akan ditulis menggunakan simbol tertentu misalnya :
| x2 − (α + β) + α.β= 0 |
Degan α dan β merupakan akar-akar persamaan kuadrat yang baru.
Baca juga : Cara Menyusun Persamaan Kuadrat Baru Rumus #4.
Rumus Khusus Menyusun Persamaan Kuadrat Baru Dengan Akar x1 - n dan x2 - n
Jika x1 dan x2 adalah akar-akar dari persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0, maka persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya n kurangnya (x1 - n dan x2 - n) dapat ditentukan dengan rumus khusus yang diperoleh berdasarkan langkah-langkah berikut :- Tentukan jumlah akar persamaan kuadrat awal
- Tentukan hasil kali akar persamaan kuadrat awal
- Tentukan jumlah akar persamaan kuadrat baru
- Tentukan hasil kali akar persamaan kuadrat baru
- Susun persamaan kuadrat baru
Berdasarkan langkah di atas, maka hal pertama yang harus kita lakuan adalah mengulik persamaan kuadrat awalnya.
Persamaan Kuadrat Awal :
ax2 + bx + c = 0
Jumlah akar :
|
Hasil kali akar :
|
Nilai a, b, dan c akan kita peroleh dari persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0.
Kita sudah menentukan jumlah akar dan hasil kali akar persamaan kuadrat awal, langkah selanjutnya adalah menentukan jumlah akar dan hasil kali akar persamaan kuadrat baru.
Jumlah akar :
⇒ (x1 - n) + (x2 - n) = (x1 + x2) − 2n
⇒ (x1 - n) + (x2 - n) = -b/a − 2n
Hasil kali akar :
⇒ (x1 - n) . (x2 - n) = (x1.x2) − nx1 − nx2 + n2
⇒ (x1 - n) . (x2 - n) = (x1.x2) − n(x1 + x2) + n2
⇒ (x1 - n) . (x2 - n) = c/a − n(-b/a) + n2
⇒ (x1 - n) . (x2 - n) = c/a + n(b/a) + n2
Selanjutnya, kita susun persamaan kuadrat baru sesuai dengan rumus umumnya yaitu :
⇒ x2 − (Jumlah akar)x + hasil kali akar = 0
⇒ x2 − (-b/a − 2n)x + c/a + n(b/a) + n2 = 0
Untuk menghilangan penyebutnya, kita kali persamaannya dengan a :
⇒ ax2 + bx + 2anx + c + bn + an2 = 0
⇒ ax2 + 2anx + an2 + bx + bn + c = 0
⇒ a(x + n)2 + b(x + n) + c = 0
Jadi, rumus khusus untuk menyusun persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya n kurangnya (x1 - n dan x2 - n) adalah :
| a(x + n)2 + b(x + n) + c = 0 |
Nilai a, b dan c kita peroleh dari persamaan kuadrat awal yaitu dari persamaan ax2 + bx + c = 0.
Kunjungi channel youtube kami "Edukiper" untuk melihat video pembahasan rumus khusus lainnya. Ada sembilan (#1 s.d #9) rumus khusus menyusun persamaan kuadrat baru yang umum dan sering keluar dalam soal.
Baca juga : Cara Menyusun Persamaan Kuadrat Baru Rumus #3.
Contoh Soal Menyusun Persamaan Kuadrat Baru
Jika x1 dan x2 adalah akar-akar dari persamaan kuadrat x2 − 3x + 5 = 0, maka tentukanlah persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya 3 kurangnya dari akar-akar persamaan kuadrat tersebut.Pembahasan :
Untuk membandingkan hasil yang akan kita peroleh, kita akan coba membahas soal di atas menggunakan rumus umum dan rumus khusus.
Dengan Rumus Umum
Persamaan kuadrat awal : x2 − 3x + 5 = 0
Dik : a = 1, b = -3, dan c = 5
Jumlah akar :
⇒ x1 + x2 = -b/a
⇒ x1 + x2 = -(-3)/1
⇒ x1 + x2 = 3
Hasil kali akar :
⇒ x1 . x2 = c/a
⇒ x1 . x2 = 5/1
⇒ x1 . x2 = 5
Selanjutnya kita tentukan jumlah akar dan hasil kali akar untuk persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya 3 kurangnya dari akar sebelumnya (x1 - 3 dan x2 - 3).
Jumlah akar :
⇒ (x1 - 3) + (x2 - 3) = (x1 + x2) − 6
⇒ (x1 - 3) + (x2 - 3) = 3 − 6
⇒ (x1 - 3) + (x2 - 3) = -3
Hasil kali akar :
⇒ (x1 - 3) . (x2 - 3) = (x1.x2) − 3x1 + 3x2 + 32
⇒ (x1 - 3) . (x2 - 3) = (x1.x2) − 3(x1 + x2) + 9
⇒ (x1 - 3) . (x2 - 3) = 5 − 3(3) + 9
⇒ (x1 - 3) . (x2 - 3) = 5
Dengan demikian, persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya x1 - 2 dan x2 - 2 adalah :
⇒ x2 − (Jumlah akar)x + hasil kali akar = 0
⇒ x2 − (-3)x + 5 = 0
⇒ x2 + 3x + 5 = 0
Dengan Rumus Khusus
Berdasarkan penguraian kita sebelumnya, persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya n kurangnya dari akar sebelumnya dapat ditentukan dengan rumus khusus yaitu :
| a(x + n)2 + b(x + n) + c = 0 |
Dari soal diketahui a = 1, b = -3 ,c = 5 dan n = 3, maka kita peroleh :
⇒ a(x + n)2 + b(x + n) + c = 0
⇒ 1(x + 3)2 + (-3)(x + 3) + 5 = 0
⇒ x2 + 6x + 9 − 3x − 9 + 5 = 0
⇒ x2 + 3x + 5 = 0
Hasil yang diperoleh dengan rumus khusus sama dengan hasil yang diperoleh dengan rumus umum. Terserah anda ingin menggunakan rumus yang mana, yang penting anda harus paham bahwa rumus khusus tidak berlaku untuk semua soal. Selain itu, anda juga harus siap menghafal banyak rumus khusus jika lebih suka cara yang singkat.
Baca juga : Cara Menyusun Persamaan Kuadrat Baru Rumus #2.
Untuk pembahasan contoh soal lainnya, silahkan kunjungi channel youtube kami "Edukiper". Total ada sembilan (#1 s.d #9) pembahasan contoh soal untuk masing-masing bentuk khusus dalam persamaan kuadrat baru.
Edutafsi.com adalah blog tentang bahan belajar. Gunakan menu atau penelusuran untuk menemukan bahan belajar yang ingin dipelajari.