Edutafsi.com - Sistem persamaan linear dua variabel atau sering disingkat SPLDV terdiri dari dua persamaan linear yang memiliki dua variabel yang sama. Selain menggunakan metode eliminasi, sistem persamaan linear dua variabel juga dapat diselesaikan dengan menggunakan metode substitusi. Sesuai dengan namanya, prinsip kerja metode substitusi adalah dengan cara mensubstitusikan nilai salah satu variabel berdasarkan persamaannya ke dalam persamaan linear lainnya sehingga dihasilkan persamaan linear satu variabel yang selanjutnya dapat kita hitung nilainya. Metode subsitusi biasanya digunakan untuk sistem persamaan linear dua variabel yang sederhana. Nilai variabel yang disubstitusikan dipilih dari persamaan linear yang bentuknya paling sederhana dari kedua persamaan yang ada. Untuk lebih jelasnya, Bahan belajar sekolah akan membahas cara menentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan linear dua variabel menggunakan metode substitusi dilengkapi dengan contoh soal.
Beberapa buku menggunakan simbol atau cara yang berbeda dalam penulisan bentuk umum sistem persamaan linear dua variabel. Tetapi semua penulis memiliki maksud yang sama hanya simbol atau vaiabelnya saja yang berbeda.
Suatu sistem persamaan linear dua variabel dalam variabel x dan y dapat ditulis sebagai berikut:
ax + by = c
px + qy = r
Pada bentuk di atas, x dan y adalah peubah sedangkan a, b, c, p, q, dan r adalah bilangan real. Selain bentuk di atas, penulisan bentuk umum SPLDV dengan variabel x dan y yang paling sering digunakan adalah:
a1x + b1y = c1
a2x + b2y = c2
Sama seperti bentuk pertama, pada bentuk kedua ini, x dan y bertindak sebagai peubah sedangkan a1, b1, c1, a2, b2, dan c2 adalah bilangan-bilangan real.
Contoh SPLDV dalam bentuk baku:
a). 2x + 4y = 8
3x - 2y = 3
b). 5x - 2y = 4
2x - y = 0
c). 3x - 2y = 0
2x + y = 0
Sistem persamaan linear dua variabel pada contoh a dan b disebut SPLDV tidak homogen sedangkan contoh c disebut SPLDV homogen yang kedua persamaannya sama dengan nol.
Contoh SPLDV dalam bentuk tidak baku:
a). x/4 + y/2 = 1
x/2 - y/2 = 5
b). (x - 2)/4 + y = 3
x + (y + 4)/3 = 8
SPLDV yang ditulis dalam bentuk tidak baku dapat diubah menjadi bentuk baku. Bentuk baku dari kedua SPLDV di atas adalah sebagai berikut.
a). Persamaan pertama, kedua ruas dikali 4. Persamaan kedua, kedua ruas dikali 2.
x + 2y = 4
x - y = 10
b). Persamaan pertama, kedua ruas dikali 4. Persamaan kedua, kedua ruas dikali 3.
x + 4y = 12
3x + y = 20.
1. Pilih persamaan yang paling sederhana
2. Nyatakan x sebagai fungsi y atau y sebagai fungsi x
3. Substitusi x ke persamaan linear lain untuk mendapat nilai y
4. Substitusi y ke persamaan linear untuk mendapat nilai x
Contoh 1:
Tentukan himpunan penyelesaian untuk SPLDV berikut ini dengan metode substitusi:
x - y = 4
2x + 4y = 20
Pembahasan :
Dari kedua persamaan linear yang menyusun SPLDV di atas, persamaan yang paling sederhana adalah persamaan pertama. Jadi kita gunakan persamaan pertama untuk disubstitusi ke persamaan kedua.
⇒ x - y = 4
⇒ x = 4 + y
Substitusi nilai x ke persamaan linear kedua:
⇒ 2x + 4y = 20
⇒ 2(4 + y) + 4y = 20
⇒ 8 + 2y + 4y = 20
⇒ 6y = 20 - 8
⇒ 6y = 12
⇒ y = 2
Selanjutnya substitusi nilai y ke salah satu persamaan:
⇒ x - y = 4
⇒ x - 2 = 4
⇒ x = 4 + 2
⇒ x = 6
Jadi, himpunan penyelesaian SPLDV di atas adalah {(6, 2)}.
Cara kedua:
Selain cara di atas, kita juga bisa menentukan SPLDV dengan mensubstitusi dan menentukan nilai x dan y secara langsung sebagai berikut.
Dari persamaan pertama kita peroleh:
⇒ x - y = 4
⇒ x = 4 + y atau y = x - 4
Substitusi nilai x ke persamaan linear kedua:
⇒ 2x + 4y = 20
⇒ 2(4 + y) + 4y = 20
⇒ 8 + 2y + 4y = 20
⇒ 6y = 20 - 8
⇒ 6y = 12
⇒ y = 2
Substitusi nilai y ke persamaan linear kedua:
⇒ 2x + 4y = 20
⇒ 2x + 4(x - 4) = 20
⇒ 2x + 4x - 16 = 20
⇒ 6x = 20 + 16
⇒ 6x = 36
⇒ x = 6
Diperoleh hasil yang sama untuk himpunan penyelesaian SPLDV, yaitu {(6, 2)}.
Contoh 2:
Dengan metode substitusi, tentukanlah himpunan penyelesaian dari SPLDV berikut ini:
(x - 2)/4 + y = 3
x + (y + 4)/3 = 8
Pembahasan :
Karena bentuk SPLDV di atas belum baku, maa kita harus mengubahnya ke bentuk SPLDV baku terlebih dahulu.
Persamaan pertama - kedua ruas kita kali 4 :
⇒ (x - 2)/4 + y = 3
⇒ (x - 2) + 4y = 12
⇒ x - 2 + 4y = 12
⇒ x + 4y = 12 + 2
⇒ x + 4y = 14
Persamaan kedua - kedua ruas kita kali 3:
⇒ x + (y + 4)/3 = 8
⇒ 3x + (y + 4) = 24
⇒ 3x + y + 4 = 24
⇒ 3x + y = 20
Dengan demikian kita peroleh SPLDV bentuk baku sebagai berikut:
x + 4y = 14
3x + y = 20
Dari kedua persamaan di atas, bentuknya sama saja artinya bentuk mana yang paling sederhana tergantung cara fikir anda. Kalau anda mau menyatakan x sebagai fungsi y maka gunakan persamaan pertama. Sebaliknya jika anda ingin menyatakan y sebagai fungsi x maka gunakan persamaan kedua.
Dari persamaan pertama:
⇒ x + 4y = 14
⇒ x = 14 - 4y
Susbtitusi x ke persamaan kedua:
⇒ 3x + y = 20
⇒ 3(14 - 4y) + y = 20
⇒ 42 - 12y + y = 20
⇒ 42 - 11y = 20
⇒ -11y = 20 - 42
⇒ -11y = -22
⇒ y = 2
Selanjutnya substitusikan y ke salah satu persamaan:
⇒ x + 4y = 14
⇒ x + 4(2) = 14
⇒ x = 14 - 8
⇒ x = 6
Jadi, himpunan penyelesaian SPLDV di atas adalah {(6, 2)}.
Cara kedua:
Dengan cara yang sama, anda bisa mencari nilai x terlebih dahulu dengan cara menyatakan y sebagai fungsi x. Dalam hal ini kita gunakan persaman kedua.
Dari persamaan kedua:
⇒ 3x + y = 20
⇒ y = 20 - 3x
Substitusi y ke persamaan pertama:
⇒ x + 4y = 14
⇒ x + 4(20 - 3x) = 14
⇒ x + 80 - 12x = 14
⇒ -11x + 80 = 14
⇒ -11x = 14 - 80
⇒ -11x = -66
⇒ x = 6
Selanjutnya substitusi nilai x ke salah satu persamaan:
⇒ 3x + y = 20
⇒ 3(6) + y = 20
⇒ 18 + y = 20
⇒ y = 20 - 18
⇒ y = 2
Diperoleh hasil yang sama. Jadi penyelesaian untuk SPLDV tersebut adalah {(6, 2)}.
Bentuk Umum SPLDV
Adakalanya, sistem persamaan linear dua variabel dalam soal disajikan dalam bentuk yang tidak umum sehingga harus diubah terlebih dahulu ke bentuk umum SPLDV agar dapat diselesaikan. Oleh karena itu, kita harus mengenali bentuk umum SPLDV terlebih dahulu.Beberapa buku menggunakan simbol atau cara yang berbeda dalam penulisan bentuk umum sistem persamaan linear dua variabel. Tetapi semua penulis memiliki maksud yang sama hanya simbol atau vaiabelnya saja yang berbeda.
Suatu sistem persamaan linear dua variabel dalam variabel x dan y dapat ditulis sebagai berikut:
ax + by = c
px + qy = r
Pada bentuk di atas, x dan y adalah peubah sedangkan a, b, c, p, q, dan r adalah bilangan real. Selain bentuk di atas, penulisan bentuk umum SPLDV dengan variabel x dan y yang paling sering digunakan adalah:
a1x + b1y = c1
a2x + b2y = c2
Sama seperti bentuk pertama, pada bentuk kedua ini, x dan y bertindak sebagai peubah sedangkan a1, b1, c1, a2, b2, dan c2 adalah bilangan-bilangan real.
Contoh SPLDV dalam bentuk baku:
a). 2x + 4y = 8
3x - 2y = 3
b). 5x - 2y = 4
2x - y = 0
c). 3x - 2y = 0
2x + y = 0
Sistem persamaan linear dua variabel pada contoh a dan b disebut SPLDV tidak homogen sedangkan contoh c disebut SPLDV homogen yang kedua persamaannya sama dengan nol.
Contoh SPLDV dalam bentuk tidak baku:
a). x/4 + y/2 = 1
x/2 - y/2 = 5
b). (x - 2)/4 + y = 3
x + (y + 4)/3 = 8
SPLDV yang ditulis dalam bentuk tidak baku dapat diubah menjadi bentuk baku. Bentuk baku dari kedua SPLDV di atas adalah sebagai berikut.
a). Persamaan pertama, kedua ruas dikali 4. Persamaan kedua, kedua ruas dikali 2.
x + 2y = 4
x - y = 10
b). Persamaan pertama, kedua ruas dikali 4. Persamaan kedua, kedua ruas dikali 3.
x + 4y = 12
3x + y = 20.
Penyelesaian SPLDV Metode Substitusi
Metode substitusi dilakukan dengan cara mensubstitusikan nilai salah satu variabel ke persamaan lainnya. Berikut langkah penyelesaian SPLDV dengan metode substitusi:1. Pilih persamaan yang paling sederhana
2. Nyatakan x sebagai fungsi y atau y sebagai fungsi x
3. Substitusi x ke persamaan linear lain untuk mendapat nilai y
4. Substitusi y ke persamaan linear untuk mendapat nilai x
Contoh 1:
Tentukan himpunan penyelesaian untuk SPLDV berikut ini dengan metode substitusi:
x - y = 4
2x + 4y = 20
Pembahasan :
Dari kedua persamaan linear yang menyusun SPLDV di atas, persamaan yang paling sederhana adalah persamaan pertama. Jadi kita gunakan persamaan pertama untuk disubstitusi ke persamaan kedua.
⇒ x - y = 4
⇒ x = 4 + y
Substitusi nilai x ke persamaan linear kedua:
⇒ 2x + 4y = 20
⇒ 2(4 + y) + 4y = 20
⇒ 8 + 2y + 4y = 20
⇒ 6y = 20 - 8
⇒ 6y = 12
⇒ y = 2
Selanjutnya substitusi nilai y ke salah satu persamaan:
⇒ x - y = 4
⇒ x - 2 = 4
⇒ x = 4 + 2
⇒ x = 6
Jadi, himpunan penyelesaian SPLDV di atas adalah {(6, 2)}.
Cara kedua:
Selain cara di atas, kita juga bisa menentukan SPLDV dengan mensubstitusi dan menentukan nilai x dan y secara langsung sebagai berikut.
Dari persamaan pertama kita peroleh:
⇒ x - y = 4
⇒ x = 4 + y atau y = x - 4
Substitusi nilai x ke persamaan linear kedua:
⇒ 2x + 4y = 20
⇒ 2(4 + y) + 4y = 20
⇒ 8 + 2y + 4y = 20
⇒ 6y = 20 - 8
⇒ 6y = 12
⇒ y = 2
Substitusi nilai y ke persamaan linear kedua:
⇒ 2x + 4y = 20
⇒ 2x + 4(x - 4) = 20
⇒ 2x + 4x - 16 = 20
⇒ 6x = 20 + 16
⇒ 6x = 36
⇒ x = 6
Diperoleh hasil yang sama untuk himpunan penyelesaian SPLDV, yaitu {(6, 2)}.
Contoh 2:
Dengan metode substitusi, tentukanlah himpunan penyelesaian dari SPLDV berikut ini:
(x - 2)/4 + y = 3
x + (y + 4)/3 = 8
Pembahasan :
Karena bentuk SPLDV di atas belum baku, maa kita harus mengubahnya ke bentuk SPLDV baku terlebih dahulu.
Persamaan pertama - kedua ruas kita kali 4 :
⇒ (x - 2)/4 + y = 3
⇒ (x - 2) + 4y = 12
⇒ x - 2 + 4y = 12
⇒ x + 4y = 12 + 2
⇒ x + 4y = 14
Persamaan kedua - kedua ruas kita kali 3:
⇒ x + (y + 4)/3 = 8
⇒ 3x + (y + 4) = 24
⇒ 3x + y + 4 = 24
⇒ 3x + y = 20
Dengan demikian kita peroleh SPLDV bentuk baku sebagai berikut:
x + 4y = 14
3x + y = 20
Dari kedua persamaan di atas, bentuknya sama saja artinya bentuk mana yang paling sederhana tergantung cara fikir anda. Kalau anda mau menyatakan x sebagai fungsi y maka gunakan persamaan pertama. Sebaliknya jika anda ingin menyatakan y sebagai fungsi x maka gunakan persamaan kedua.
Dari persamaan pertama:
⇒ x + 4y = 14
⇒ x = 14 - 4y
Susbtitusi x ke persamaan kedua:
⇒ 3x + y = 20
⇒ 3(14 - 4y) + y = 20
⇒ 42 - 12y + y = 20
⇒ 42 - 11y = 20
⇒ -11y = 20 - 42
⇒ -11y = -22
⇒ y = 2
Selanjutnya substitusikan y ke salah satu persamaan:
⇒ x + 4y = 14
⇒ x + 4(2) = 14
⇒ x = 14 - 8
⇒ x = 6
Jadi, himpunan penyelesaian SPLDV di atas adalah {(6, 2)}.
Cara kedua:
Dengan cara yang sama, anda bisa mencari nilai x terlebih dahulu dengan cara menyatakan y sebagai fungsi x. Dalam hal ini kita gunakan persaman kedua.
Dari persamaan kedua:
⇒ 3x + y = 20
⇒ y = 20 - 3x
Substitusi y ke persamaan pertama:
⇒ x + 4y = 14
⇒ x + 4(20 - 3x) = 14
⇒ x + 80 - 12x = 14
⇒ -11x + 80 = 14
⇒ -11x = 14 - 80
⇒ -11x = -66
⇒ x = 6
Selanjutnya substitusi nilai x ke salah satu persamaan:
⇒ 3x + y = 20
⇒ 3(6) + y = 20
⇒ 18 + y = 20
⇒ y = 20 - 18
⇒ y = 2
Diperoleh hasil yang sama. Jadi penyelesaian untuk SPLDV tersebut adalah {(6, 2)}.
Edutafsi.com adalah blog tentang bahan belajar. Gunakan menu atau penelusuran untuk menemukan bahan belajar yang ingin dipelajari.