SOAL DAN PEMBAHASAN ATURAN RANTAI FUNGSI TRIGONOMETRI

Untuk menjawab soal-soal turunan fungsi trigonometri yang sederhana  kita masih bisa menggunakan rumus dasar. Akan tetapi, untuk soal yang lebih rumit kita harus menggunakan aturan rantai. Aturan rantai pada turunan fungsi trigonometri prinsipnya sama dengan aturan rantai pada turunan fungsi aljabar. Agar kita dapat menggunakan aturan rantai tentu kita harus memahami konsep dasar turunan fungsi trigonometri dan menguasai konsep-konsep trigonometri karena adakalanya kita harus merubah fungsi trigonometri ke bentuk lain yang lebih sederhana. Seringkali karena kurang paham bentuk-bentuk trigonometri, kita melewatkan soal-soal turunan begitu saja padahal soal tersebut tidak terlalu sulit.

Seperti yang telah dibahas pada artikel sebelumnya, aturan rantai biasanya digunakan untuk menjawab soal turunan fungsi yang berpangkat. Bentuk umum aturan rantai untuk turunan fungsi trigonometri adalah sebagai berikut:

1. Aturan Rantai Umum

   Jika y = [f(x)]n , maka y' = n [f(x)]n-1. f '(x)

   
   Dengan :
   y = fungsi awal
   y' = turunan pertama fungsi y
   f(x) = sebarang fungsi
   f'(x) = turunan pertama fungsi f(x).
   

   
   
2. Fungsi Sinus
   Jika fungsi y = c sinⁿ f(x) , maka turunan pertamanya adalah :
   

   y' = c.n sinn-1 f(x). cos f(x).f '(x)

   
   Dengan :
   y = fungsi awal
   y' = turunan pertama fungsi y
   c = konstanta
   n = bilangan pangkat
   f(x) = sebarang fungsi
   f'(x) = turunan pertama fungsi f(x).
   

   
   
3. Fungsi Cosinus
   Jika fungsi y = c cosⁿ f(x) , maka turunan pertamanya adalah :
   

   y' = -c.n cosn-1 f(x). sin f(x).f '(x)

   
   Dengan :
   y = fungsi awal
   y' = turunan pertama fungsi y
   c = konstanta
   n = bilangan pangkat
   f(x) = sebarang fungsi
   f'(x) = turunan pertama fungsi f(x).

Contoh Soal :

1. Tentukan turunan pertama dari r = √sin θ.
   
   Pembahasan :
   Dari soal : f(θ) = θ, maka f '(θ) = 1
   r = (sin θ)^½
   ⇒ r' = c.n sin^n-1 f(θ). cos f(θ).f '(θ)
   ⇒ r' = ½ (sin)^½-1 θ.cos θ (1)
   ⇒ r' = ½ (sin θ)^-½.cos θ
   

   ⇒ r' =	cos θ
   	2(sin θ)½

   ⇒ r' =	cos θ
   	2√sin θ

   
   
   
2. Tentukan turunan pertama dari fungsi y = sin² (2x + 3).
   
   Pembahasan :
   Dari soal :  f(x) = 2x + 3, maka f '(x) = 2
   y = sin² (2x + 3)
   ⇒ y = {sin (2x + 3)}²
   ⇒ y' = c.n sin^n-1 f(x). cos f(x).f '(x)
   ⇒ y' = 2 sin^2-1 (2x + 3). cos (2x + 3).(2)
   ⇒ y' = 4 sin (2x + 3) cos (2x + 3).
   
   
   
   
3. Jika f(x) = -(cos² x − sin² x), maka tentukanlah turunan pertamanya.
   
   Pembahasan :
   Terdapat dua fungsi , dengan f(x) sama yaitu :
   f(x) = x, maka f '(x) = 1.
   
   Maka turunn pertamanya adalah :
   f(x) = -(cos² x − sin² x)
   ⇒ y' = -{-c.n cos^n-1 f(x). sin f(x).f '(x) − c.n sin^n-1 f(x). cos f(x).f '(x)}
   ⇒ y' = -{-2 cos^2-1 x. sin x (1) − 2 sin^2-1 x. cos x (1)}
   ⇒ y' = -(-2 cos x. sin x − 2 sin x. cos x)
   ⇒ y' = -(-2 sin x. cos x − 2 sin x. cos x)
   ⇒ y' = -(-4 sin x.cos x)
   ⇒ y' = 4 sin x cos x.
   
   
   
   
4. Jika y = √1 + sin² x, maka tentukan turunan pertamanya.
   
   Pembahasan :
   Dari soal diketahui :
   ⇒ f(x) = 1 + sin² x
   ⇒ f '(x) = 0 + 2 sin x cos x = 2 sin x cos x.
   
   Jadi turunan pertamanya adalah :
   y = (1 + sin² x)^½
   ⇒ y' = n [f(x)]^n-1. f '(x)
   ⇒ y' = ½ (1 + sin² x)^½-1. 2 sin x cos x
   ⇒ y' = (1 + sin² x)^-½. sin x cos x
   

   ⇒ y' =	sin x cos x
   	(1 + sin2 x)½

   ⇒ y' =	sin x cos x
   	√1 + sin2 x

   
   
   
5. Tentukan turunan pertama dari y = (sin x + cos x)².
   
   
   Pembahasan :
   ⇒ f(x) = sin x + cos x
   ⇒ f '(x) = cos x - sin x
   
   Jadi turunan pertamanya adalah :
   y = (sin x + cos x)²
   ⇒ y' = n [f(x)]^n-1. f '(x)
   ⇒ y' = 2 (sin x + cos x)^2-1.(cos x − sin x)
   ⇒ y' = 2 (sin x + cos x).(cos x − sin x)
   ⇒ y' = 2 (cos x + sin x).(cos x − sin x)
   ⇒ y' = 2 (cos² x − sin² x)
   ⇒ y' = 2 (cos² x − (1 − cos² x))
   ⇒ y' = 2 (2cos² x − 1)
   ⇒ y' = 4cos² x − 2.
   
   

Share ke Facebook >>

Edutafsi.com adalah blog tentang bahan belajar. Gunakan menu atau penelusuran untuk menemukan bahan belajar yang ingin dipelajari.