PERKALIAN SILANG (CROSS PRODUCT) DUA VEKTOR

Posted by on 25 May 2015 - 11:29 AM

Pada artikel sebelumnya, kita telah membahasa tentang perkalian dua vektor. Perkalian dua vektor dibedakan menjadi perkalian titik dan perkalian silang. Perkalian titik (dot product) menghasilkan skalar sedangkan perkalian silang menghasilkan vektor. Hasil dari perkalian silang atau cross product antara dua vektor adalah sebuah vektor baru yang arahnya tegak lurus terhadap bidang dimana kedua vektor yang dikalikan berada. Prinsip perkalian silang dua buah vektor mengikuti aturan tangan kanan.

Bila nilai atau besar vektor baru yang diperoleh melalui perkalian silang antara dua vektor ditentukan, maka nilai tersebut akan sama dengan hasil kali besar kedua vektor dengan sinus sudut apitnya yang secara metamtis dapat ditulis :

|A x B| = |A|.|B| sin θ

Dengan :
|A| = besar vektor A
|B| = besar vektor B
θ = sudut antara vektor A dan vektor B

Berikut beberapa hal penting dan umum yang berlaku dalam perkalian silang dua vektor :
  1. Bersifat Antikomutatif
    Jika dua buah vektor dikalikan secara silang, maka akan berlaku sifat antikomutatif yang secara matematis ditulis :

    A x B = -B x A

    Contoh :
    Jika dua vektor A dan B dinyatakan dengan : A = 2î + 2ĵ  − 3k̂, dan B = -2î + 3ĵ  − 4k̂. Buktikanlah bahwa A x B = -B x A.

    Pembahasan :
    Perkalian silang A x B :
    ⇒ A x B = i jk i       j
    22 -3 2     2
    -23 -4 -2    3
    ⇒ A x B = {i(2)(-4) + j(-3)(-2) + k(2)(3)} − {k(2)(-2) + i(-3)(3) + j(2)(-4)}
    ⇒ A x B = (-8i + 6j + 6k) − {-4k − 9i − 8j}
    ⇒ A x B = i + 14j + 10k

    Perkalian silang B x A :
    ⇒ B x A = i jk i       j
    -23 -4 -2     3
    22 -3 2      2
    ⇒ B x A = {i(3)(-3) + j(-4)(2) + k(-2)(2)} − {k(3)(2) + i(-4)(2) + j(-2)(-3)}
    ⇒ B x A = (-9i − 8j − 4k) − {6k − 8i + 6j}
    ⇒ B x A = -i − 14j − 10k

    Jika hasil di atas kita hubungkan, maka :
    ⇒ A x B = -B x A
    ⇒ i + 14j + 10k = -(-i − 14j − 10k)
    ⇒ i + 14j + 10k = i + 14j + 10k
    (Terbukti).

  2. Dua Vektor Saling Tegak Lurus
    Jika kedua vektor yang dikalikan saling tegak lurus maka sudut antara kedua vektor adalah 90o, sehingga :
    |A x B| = |A|.|B| sin θ
    |A x B| = |A|.|B| sin 90o
    |A x B| = |A|.|B| (1)
    |A x B| = |A|.|B|

  3. Dua Vektor Segaris
    Jika kedua vektor berada satu garis dan searah, maka sudut antara kedua vektor adalah 0o, sehingga :
    |A x B| = |A|.|B| sin θ
    |A x B| = |A|.|B| sin 0o
    |A x B| = |A|.|B| (0)
    |A x B| = 0

    Jika kedua vektor berada satu garis dan berlawanan arah, maka sudut antara dua vektor tersebut adalah 180o, sehingga :
    |A x B| = |A|.|B| sin θ
    |A x B| = |A|.|B| sin 180o
    |A x B| = |A|.|B| (0)
    |A x B| = 0

Sifat-sifat Perkalian Silang (Cross Product)

Berikut beberapa sifat perkalian silang :
  1. A x B ≠ B x A
  2. k(A x B) = kA x B = A x kB
  3. A x (B + C) = (A x B) + (A x C)
  4. (A + B) x C = (A x C) + (B x C)



Edutafsi.com adalah blog tentang bahan belajar. Gunakan menu atau penelusuran untuk menemukan bahan belajar yang ingin dipelajari.

Advertisements

0 comments :

Post a Comment