PEMBAHASAN SOAL SBMPTN MATEMATIKA TURUNAN DIFFERENSIAL

Posted by on 06 October 2015 - 11:55 AM

  1. Suatu benda bergerak dengan persamaan gerak yang dinyatakan oleh :
    s(t) = ⅓t3 - 2t2 + 6r + 3
    Satuan jarak s(t) dinyatakan dalam meter dan waktu t dinyatakan dalam sekon.
    Apabila pada saat percepatan menjadi nol, maka kecepatan benda tersebut pada saat itu adalah ....
    A. 1 m/s D. 6 m/s
    B. 2 m/s E. 8 m/s
    C. 4 m/s

    Pembahasan :
    Konsep dasar yang perlu kita ingat ialah :
    • Jarak adalah integral dari kecepatan terhadap waktu
      s(t) = ∫ v dt

    • Kecepatan adalah turunan jarak terhadap waktu
      v(t) = ds
      dt

    • Kecepatan adalah integral dari percepatan terhadap waktu
      v(t) = ∫ a dt

    • Percepatan adalah turunan kecepatan terhadap waktu
      a(t) = dv
      dt

    • Percepatan adalah turunan kedua dari jarak terhadap waktu
      a(t) = d2s
      dt2

    Diketahui persamaan jarak :
    ⇒ s(t) = ⅓t3 - 2t2 + 6r + 3

    Persamaan kecepatan :
    ⇒ v(t) = ds
    dt
    ⇒ v(t) = d (⅓t3 - 2t2 + 6t + 3)
    dt
    ⇒ v(t) = t2 - 4t + 6

    Persamaan percepatan :
    ⇒ a(t) = dv
    dt
    ⇒ a(t) = d (t2 - 4t + 6)
    dt
    ⇒ a(t) = 2t - 4

    Percepatan benda akan bernilai nol pada saat :
    ⇒ 0 = 2t - 4
    ⇒ 2t = 4
    ⇒ t = 2 detik

    Karena percepatan bernilai nol pada detik kedua (t = 2), maka kecepatan benda menjadi :
    ⇒ v(t) = t2 - 4t + 6
    ⇒ v(t) = 22 - 4.2 + 6
    ⇒ v(t) = 4 - 8 + 6
    ⇒ v(t) = 2 m/s
    Jawaban : B

  2. Kurva y = (x2 + 2)2 memotong sumbu y di titik A. Persamaan garis singgung pada kurva tersebut di titik A adalah .....
    1. y = 8x + 4
    2. y = -8x + 4
    3. y = 4
    4. y = -12x + 4
    5. y = 12x + 4

    Pembahasan :
    Selain digunakan untuk menentukan persamaan suatu besaran turunan seperti kecepatan dan percepatan, konsep turunan juga dapat diaplikasikan untuk menentukan persamaan garis singgung. Dengan demikian, kita dapat menggunakan konsep turunan untuk menyelesaikan soal di atas.

    Titik potong pada sumbu koordinat :
    • Memotong sumbu y → berarti x = 0
    • Memotong sumbu x → berarti y = 0

    Pada soal, kurva memotong sumbu y pada titik A dengan x = 0 :
    ⇒ y = (x2 + 2)2
    ⇒ y = (02 + 2)2
    ⇒ y = 4
    Berarti titik A = (0,4)

    Persamaan gradien garis singgung ditentukan dengan konsep turunan :
    ⇒ m = dy
    dx
    ⇒ m = d (x2 + 2)2
    dx
    ⇒ m = 2 (x2 + 2). 2x
    ⇒ m = 4x (x2 + 2)

    Untuk x = 0, maka gradiennya :
    ⇒ m = 4x (x2 + 2)
    ⇒ m = 4.0 (02 + 2)
    ⇒ m = 0

    Untuk menentukan persamaan garis yang melalui satu titik dan gradien m, dapat kita gunakan rumus berikut :
    y − y1 = m (x − x1)

    Dengan x1 dan y1 titik yang diketahui.

    Berdasarkan rumus di atas, maka persamaan garis singgung pada titik (0,4) adalah :
    ⇒ y − y1 = m (x − x1)
    ⇒ y − 4 = 0 (x − 0)
    ⇒ y − 4 = 0
    ⇒ y = 4
    Jawaban : C

  3. Garis singgung pada kurva x2 - y + 2x - 3 = 0 yang tegak lurus pada garis x - 2y + 3 = 0 mempunyai persamaan .....
    1. y + 2x + 7 = 0
    2. y + 2x + 3 = 0
    3. y + 2x + 4 = 0
    4. y + 2x - 7 = 0
    5. y + 2x - 3 = 0

    Pembahasan :
    Hubungan gradien dua garis yang saling tegak lurus :
    m1.m2 = -1

    Dengan :
    m1 = gradien garis pertama
    m2 = gradien garis  kedua

    Gradien garis pertama diketahui :
    ⇒ x - 2y + 3 = 0
    ⇒ -2y = -x - 3
    ⇒ 2y = x + 3
    ⇒ y = ½x + 32
    ⇒ m1 = dy
    dx
    ⇒ m1 = d (½x + 32)
    dx
    ⇒ m1 = ½

    Gradien garis kedua :
    ⇒ m1.m2 = -1
    ⇒ ½ m2 = -1
    ⇒ m2 = -2

    Sekarang kita cari dulu persamaan gradien garis kedua (m2) berdasarkan kurvanya x2 - y + 2x - 3 = 0, yaitu :
    ⇒ x2 - y + 2x - 3 = 0
    ⇒ y = x2 + 2x - 3
    ⇒ m2 = dy
    dx
    ⇒ m2 = d (x2 + 2x - 3)
    dx
    ⇒ m2 = 2x + 2

    Selanjutnya kita harus mencari titik potong kurva terlebih dahulu. Untuk mencari titik potong, subsitusi nilai m2 ke persamaan gradiennya :
    ⇒ m2 = 2x + 2
    ⇒ -2 = 2x + 2
    ⇒ -2 - 2 = 2x
    ⇒ 2x = -4
    ⇒ x = -2

    Untuk x = -2, kita peroleh :
    ⇒ y = x2 + 2x - 3
    ⇒ y = (-2)2 + 2(-2) - 3
    ⇒ y = 4 - 4 - 3
    ⇒ y = -3
     Berarti titik potongnya = (-2,-3)

    Dengan demikian, persamaan garis singgungnya adalah :
    ⇒ y − y1 = m (x − x1)
    ⇒ y − (-3) = -2 (x − (-2))
    ⇒ y + 3 = -2 (x + 2)
    ⇒ y + 3 = -2x - 4
    ⇒ y + 2x + 3 + 4 = 0
    ⇒ y + 2x + 7 = 0
    Jawaban : A



Edutafsi.com adalah blog bahan belajar sekolah yang ditujukan untuk membantu murid belajar. Dukung edutafsi untuk terus berkembang dengan like laman facebook edutafsi, follow IG Tafsi Junior, dan subscribe youtube Tafsi Video. Terimakasih telah berkunjung ke blog ini. Semoga bermanfaat.

Advertisements

0 comments :

Post a Comment