Pembahasan Soal SBMPTN Matematika Persamaan Kuadrat

Posted by on 21 October 2015 - 9:32 PM

  1. Jika jumlah kuadrat akar-akar persamaan x2 - 3x + n = 0 sama dengan jumlah pangkat tiga akar-akar persamaan kuadrat x2 + x - n = 0, maka nilai n adalah ....
    A. 8                D. -8
    B. 6  E. -10
    C. -2     

    Pembahasan :
    Misalkan akar-akar persamaan kuadrat x2 - 3x + n = 0 adalah p dan q, sedangkan akar-akar persamaan kuadrat x2 + x - n = 0 adalah u dan v. 

    Sebagai langkah awal, mari kita cerna kalimat dalam soal tersebut. Jumlah kuadrat akar persamaan kuadrat pertama sama dengan jumlah pangkat tiga akar-akar persamaan kuadrat kedua, dalam bentuk matematika dapat kita tulis sebagai berikut :
    ⇒ Jumlah kuadrat akar = jumlah pangkat tiga akar
    ⇒ p2 + q2 = u3 + v3

    Selanjutnya, kita mencari nilai masing-masing ruas. Perhatikan tahap pengerjaan di bawah ini!
Persamaan kuadrat  pertama 
x2 - 3x + n = 0
Dik : a = 1, b = -3, c = n

Jumlah akar :
⇒ p + q = -ba
⇒ p + q = 31
⇒ p + q = 3

Hasil kali akar :
⇒ p.q = ca
⇒ p.q = n1
⇒ p.q = n

Jumlah kuadrat akar-akarnya :
⇒ p2 + q2 = (p + q)2 - 2p.q
⇒ p2 + q2 = (3)2 - 2(n)
⇒ p2 + q2 = 9 - 2n .......(1)
Persamaan kuadrat kedua
x2 + x - n = 0
Dik : a = 1, b = 1, c = -n

Jumlah akar :
⇒ u + v = -ba
⇒ u + v = -11
⇒ u + v = -1

Hasil kali akar :
⇒ u.v = ca
⇒ u.v = -n1
⇒ u.v = -n

Jumlah pangkat tiga akar-akarnya :
⇒ u3 + v3 = (u + v)3 - 3u.v (u + v)
⇒ u3 + v3 = (-1)3 - 3(-n) (-1)
⇒ u3 + v3 = -1 - 3n .... (2)
Karena persamaan (1) dan (2) bernilai sama, maka berlaku :
⇒ p2 + q2 = u3 + v3
⇒ 9 - 2n = -1 - 3n
⇒ -2n + 3n = -1 - 9
⇒ n = -10
Jadi, nilai n adalah -10.

Sebenarnya, langkah pengerjaan soal di atas cukup sederhana. Intinya, cari jumlah kuadrat akar-akar persamaan kuadrat pertama, cari jumlah pangkat tiga akar-akar persamaan kuadrat kedua, kemudian tentukan nilai n berdasarkan prinsip persamaan.

Langkah panjang di atas merupakan upaya kami untuk menjelaskan pembahasan soal sedetail mungkin agar mudah dipahami. Jika penjabaran rumus jumlah kuadrat dan jumlah pangkat tiga akar-akar masih bingung, kamu bisa membaca postingan tentang Jumlah dan Hasil Kali Akar Persamaan Kuadrat untuk penjabaran lebih rinci
Jawaban : E
  1. Jika α dan β merupakan akar-akar real persamaan berikut :
    x2 + x = 2
    x2 + x + 1
    maka nilai α.β adalah ......
    1. 2 atau -1
    2. -2 atau 1
    3. -2 atau -1
    4. -2
    5. -1

    Pembahasan : 
    Kita misalkan x2 + x = p, sehingga persamaannya menjadi :
    ⇒ p = 2
    p + 1
    ⇒ p(p + 1) = 2
    ⇒ p2 + p - 2 = 0
    ⇒ (p + 2)(p - 1) = 0
    ⇒ p = -2 atau p = 1

    Sekarang kita kembalikan pemisalan tadi.
    Untuk p = -2
    ⇒ x2 + x = p
    ⇒ x2 + x = -2
    ⇒ x2 + x + 2 = 0

    Untuk mengetahui apakah akar-akar persamaan kuadrat tersebut real atau tidak, maka kita cek nilai diskriminannya.
    ⇒ D = b2 - 4ac
    ⇒ D = 12 - 4(1)(2)
    ⇒ D = 1 - 8
    ⇒ D = -7 < 0

    Ingat bahwa syarat agar akar-akarnya real, nilai D harus lebih besar sama dengan nol (D ≥ 0). Untuk teori lebih rinci, kamu bisa baca artikel Sifat Akar-akar Persamaan Kuadrat. Karena D < 0, maka akar-akarnya tidak real dengan begitu nilai p = -2 tidak memenuhi.

    Untuk p = 1
    ⇒ x2 + x = p
    ⇒ x2 + x = 1
    ⇒ x2 + x - 1 = 0

    Dengan cara yang sama kita tentukan diskriminannya :
    ⇒ D = b2 - 4ac
    ⇒ D = 12 - 4(1)(-1)
    ⇒ D = 1 + 4
    ⇒ D = 5 > 0
    Karena D > 0, maka akarnya real.

    Dengan demikian, persamaan yang memenuhi adalah x2 + x - 1 = 0. Dari persamaan tersebut, kita peroleh hasil kali akar sebagai berikut :
    ⇒ α.β = ca
    ⇒ α.β = -1
    ⇒ α.β = -1
    Jawaban : E


Edutafsi.com adalah blog bahan belajar sekolah yang ditujukan untuk membantu murid belajar. Dukung edutafsi untuk terus berkembang dengan like laman facebook edutafsi dan follow IG Tafsi Junior. Terimakasih telah berkunjung ke blog ini. Semoga bermanfaat.

Advertisements

0 comments :

Post a Comment