Pembahasan Soal SBMPTN Matematika Persamaan Kuadrat

Posted by on 21 October 2015 - 9:32 PM

  1. Jika jumlah kuadrat akar-akar persamaan x2 - 3x + n = 0 sama dengan jumlah pangkat tiga akar-akar persamaan kuadrat x2 + x - n = 0, maka nilai n adalah ....
    A. 8                D. -8
    B. 6  E. -10
    C. -2     

    Pembahasan :
    Misalkan akar-akar persamaan kuadrat x2 - 3x + n = 0 adalah p dan q, sedangkan akar-akar persamaan kuadrat x2 + x - n = 0 adalah u dan v. 

    Sebagai langkah awal, mari kita cerna kalimat dalam soal tersebut. Jumlah kuadrat akar persamaan kuadrat pertama sama dengan jumlah pangkat tiga akar-akar persamaan kuadrat kedua, dalam bentuk matematika dapat kita tulis sebagai berikut :
    ⇒ Jumlah kuadrat akar = jumlah pangkat tiga akar
    ⇒ p2 + q2 = u3 + v3

    Selanjutnya, kita mencari nilai masing-masing ruas. Perhatikan tahap pengerjaan di bawah ini!
Persamaan kuadrat  pertama 
x2 - 3x + n = 0
Dik : a = 1, b = -3, c = n

Jumlah akar :
⇒ p + q = -ba
⇒ p + q = 31
⇒ p + q = 3

Hasil kali akar :
⇒ p.q = ca
⇒ p.q = n1
⇒ p.q = n

Jumlah kuadrat akar-akarnya :
⇒ p2 + q2 = (p + q)2 - 2p.q
⇒ p2 + q2 = (3)2 - 2(n)
⇒ p2 + q2 = 9 - 2n .......(1)
Persamaan kuadrat kedua
x2 + x - n = 0
Dik : a = 1, b = 1, c = -n

Jumlah akar :
⇒ u + v = -ba
⇒ u + v = -11
⇒ u + v = -1

Hasil kali akar :
⇒ u.v = ca
⇒ u.v = -n1
⇒ u.v = -n

Jumlah pangkat tiga akar-akarnya :
⇒ u3 + v3 = (u + v)3 - 3u.v (u + v)
⇒ u3 + v3 = (-1)3 - 3(-n) (-1)
⇒ u3 + v3 = -1 - 3n .... (2)
Karena persamaan (1) dan (2) bernilai sama, maka berlaku :
⇒ p2 + q2 = u3 + v3
⇒ 9 - 2n = -1 - 3n
⇒ -2n + 3n = -1 - 9
⇒ n = -10
Jadi, nilai n adalah -10.

Sebenarnya, langkah pengerjaan soal di atas cukup sederhana. Intinya, cari jumlah kuadrat akar-akar persamaan kuadrat pertama, cari jumlah pangkat tiga akar-akar persamaan kuadrat kedua, kemudian tentukan nilai n berdasarkan prinsip persamaan.

Langkah panjang di atas merupakan upaya kami untuk menjelaskan pembahasan soal sedetail mungkin agar mudah dipahami. Jika penjabaran rumus jumlah kuadrat dan jumlah pangkat tiga akar-akar masih bingung, kamu bisa membaca postingan tentang Jumlah dan Hasil Kali Akar Persamaan Kuadrat untuk penjabaran lebih rinci
Jawaban : E
  1. Jika α dan β merupakan akar-akar real persamaan berikut :
    x2 + x = 2
    x2 + x + 1
    maka nilai α.β adalah ......
    1. 2 atau -1
    2. -2 atau 1
    3. -2 atau -1
    4. -2
    5. -1

    Pembahasan : 
    Kita misalkan x2 + x = p, sehingga persamaannya menjadi :
    ⇒ p = 2
    p + 1
    ⇒ p(p + 1) = 2
    ⇒ p2 + p - 2 = 0
    ⇒ (p + 2)(p - 1) = 0
    ⇒ p = -2 atau p = 1

    Sekarang kita kembalikan pemisalan tadi.
    Untuk p = -2
    ⇒ x2 + x = p
    ⇒ x2 + x = -2
    ⇒ x2 + x + 2 = 0

    Untuk mengetahui apakah akar-akar persamaan kuadrat tersebut real atau tidak, maka kita cek nilai diskriminannya.
    ⇒ D = b2 - 4ac
    ⇒ D = 12 - 4(1)(2)
    ⇒ D = 1 - 8
    ⇒ D = -7 < 0

    Ingat bahwa syarat agar akar-akarnya real, nilai D harus lebih besar sama dengan nol (D ≥ 0). Untuk teori lebih rinci, kamu bisa baca artikel Sifat Akar-akar Persamaan Kuadrat. Karena D < 0, maka akar-akarnya tidak real dengan begitu nilai p = -2 tidak memenuhi.

    Untuk p = 1
    ⇒ x2 + x = p
    ⇒ x2 + x = 1
    ⇒ x2 + x - 1 = 0

    Dengan cara yang sama kita tentukan diskriminannya :
    ⇒ D = b2 - 4ac
    ⇒ D = 12 - 4(1)(-1)
    ⇒ D = 1 + 4
    ⇒ D = 5 > 0
    Karena D > 0, maka akarnya real.

    Dengan demikian, persamaan yang memenuhi adalah x2 + x - 1 = 0. Dari persamaan tersebut, kita peroleh hasil kali akar sebagai berikut :
    ⇒ α.β = ca
    ⇒ α.β = -1
    ⇒ α.β = -1
    Jawaban : E


Edutafsi.com adalah blog tentang bahan belajar. Gunakan menu atau penelusuran untuk menemukan bahan belajar yang ingin dipelajari.

Advertisements

0 comments :

Post a Comment